关于Malliavin微积分中随机过程的确定性可测核序列存在性的证明疑问

最近我在研读Di Nunno、Øksendal和Proske的Malliavin微积分著作，遇到了下面这个问题卡壳了。我自己尝试写了一个可能的解法，之后也梳理了一些疑惑，想和大家交流探讨。

问题 #

设$u(t)$，$0 \le t \le T$，是一个可测随机过程，满足
$$
\mathbb{E} \left[ \int_0^T u^2(t) ~\mathrm{d}t \right] < \infty
$$
证明存在一列确定性可测核$f_n(t_1, \ldots, t_n, t)$，定义在$[0,T]^{n+1}$上（$n \ge 0$），满足
$$
\int_{[0,T]^{n+1}} f_n^2 (t_1, \ldots, t_n, t) ~\mathrm{d}t_1 \cdots \mathrm{d}t_n \mathrm{d}t < \infty
$$
且所有$f_n$关于变量$t_1, \ldots, t_n$对称，使得
$$
u(t) = u(\omega, t) = \sum_{n=0}^\infty I_n(f_n(\cdot, t))(\omega), \quad \omega \in \Omega, ~t \in [0,T]
$$
其中收敛在$L^2(\mathbb{P} \times \lambda)$意义下。

提示：考虑$u(t)$在$L^2(\mathbb{P} \times \lambda)$中的逼近，形式为$\sum_{i=1}^m a_i(\omega) b_i(t)$，$m = 1, 2, \ldots$，其中$a_i \in L^2(\mathbb{P})$，$b_i \in L^2([0,T])$。

我的尝试解法 #

根据提示，我考虑用如下形式的逼近序列来逼近$u(t)$：
$$
\varphi_m(t) = \sum_{i=1}^m a_i(\omega) b_i(t)
$$
这里$a_i \in L^2(\mathbb{P})$，$b_i \in L^2([0,T])$。

根据Wiener-Itô混沌展开，每个$a_i$都存在唯一的函数序列$g_n^{(i)} \in \tilde{L}^2 ([0,T]^n)$，使得
$$
a_i = \sum_{n=0}^\infty I_n(g_n^{(i)})
$$

代入逼近式后得到：
$$
\varphi_m(t) = \sum_{i=1}^m \sum_{n=0}^\infty b_i(t) I_n(g_n^{(i)})
$$

把伊藤积分展开的话，就是：
$$
\varphi_m(t) = \sum_{i=1}^m \sum_{n=0}^\infty b_i(t) \int_{[0,T]^n} g_n^{(i)} (t_1, \ldots, t_n) ~\mathrm{d}W(t_1) \cdots \mathrm{d}W(t_n)
$$

接下来我交换了级数和积分的顺序，得到：
$$
\varphi_m(t) = \sum_{n=0}^\infty \int_{[0,T]^n} \sum_{i=1}^m b_i(t) g_n^{(i)} (t_1, \ldots, t_n) ~\mathrm{d}W(t_1) \cdots \mathrm{d}W(t_n)
$$

当$m \to \infty$时，$\varphi_m \to u$。我定义：
$$
f_n(t_1, \ldots, t_n, t) = \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m b_i(t) g_n^{(i)} (t_1, \ldots, t_n)
$$
这样就得到了：
$$
u(t) = \sum_{n=0}^\infty \int_{[0,T]^n} f_n (t_1, \ldots, t_n, t) ~\mathrm{d}W(t_1) \cdots \mathrm{d}W(t_n) = \sum_{n=0}^\infty I_n(f_n(\cdot, t))
$$

我的疑问 #

这里有几个明显的问题我想不通：

• 我能不能随意交换级数和积分的顺序？有没有什么定理或者条件能保证这个交换是合法的？
• 是什么保证了$f_n$的存在性，也就是上面那个极限确实存在？
• 除了这两个问题之外，我的解法里还有其他漏洞吗？有没有办法修正这些问题？

另外我也尝试过模仿Wiener-Itô混沌展开的证明思路，是不是应该对$a_i b_i$这个乘积来做？这样是不是就能用伊藤表示定理了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者herrmath