关于二重积分∬_{-π/2}^{π/2}sin(x+y)dxdy计算正确性的咨询

嘿，我来帮你梳理一下这个二重积分的计算问题～

先看看你给出的尝试过程：

我当时觉得无聊，就想算一些函数的积分，后来决定计算$$\int_Df(x,y)dxdy$$，其中$$f(x,y)=\sin(x+y),D=\left{(x,y)\in\mathbb R^2,-\dfrac\pi2\le x\le \dfrac\pi2,-\dfrac\pi2\le y\le\dfrac\pi2\right}$$，我觉得这个积分应该能算出来。以下是我的尝试：
$$\begin{align}\int_Df(x,y)dxdy\implies&\iint_{-\pi/2}^{{\pi/2}\sin(x+y)dxdy\implies\iint_{-\pi/2}}{\pi/2}\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)dxdy\\implies&\iint_{-\pi/2}^{{\pi/2}\sin(x)\cos(y)dxdy+\iint_{-\pi/2}}{\pi/2}\cos(x)\sin(y)dxdy\\implies&2\left(\int_{-\pi/2}^{{\pi/2}0\cdot\cos(y)dy-\int_{-\pi/2}}{\pi/2}\sin(y)dy\right)\\implies&-2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin(y)dy=-2\cdot(0-0)=-2\cdot0=0\end{align}$$

首先要告诉你：你最终得到的结果是对的，但中间的推导过程完全出错了，属于“歪打正着”。下面我来一步步给你理清楚正确的计算逻辑：

正确的计算步骤 #

1. 拆分被积函数：你第一步用正弦和角公式$\sin(x+y)=\sin x\cos y + \cos x\sin y$拆分是完全正确的，接下来拆分两个二重积分也没问题：
   $$\iint_D \sin(x+y)dxdy = \iint_D \sin x\cos y dxdy + \iint_D \cos x\sin y dxdy$$

2. 分离变量计算二重积分：对于可以分离变量的被积函数，二重积分可以拆成两个定积分的乘积：

   • 第一个积分：$\iint_D \sin x\cos y dxdy = \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x dx\right) \times \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos y dy\right)$
   • 第二个积分：$\iint_D \cos x\sin y dxdy = \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x dx\right) \times \left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin y dy\right)$

3. 计算单个定积分：

   • $\sin x$是奇函数，在对称区间$[-\pi/2, \pi/2]$上的积分结果为0：$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x dx = 0$
   • $\cos y$是偶函数，在对称区间上的积分：$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos y dy = 2\int_{0}^{\pi/2}\cos y dy = 2[\sin y]_0^{\pi/2}=2(1-0)=2$
   • 同理，$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x dx = 2$，$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin y dy = 0$

4. 合并结果：

   • 第一个积分：$0 \times 2 = 0$
   • 第二个积分：$2 \times 0 = 0$
   • 总积分：$0 + 0 = 0$

更快捷的验证方式：对称性分析 #

积分区域$D$是关于原点对称的正方形，而被积函数$f(x,y)=\sin(x+y)$满足$f(-x,-y)=\sin(-x-y)=-\sin(x+y)=-f(x,y)$，也就是$f(x,y)$是关于原点的奇函数。对于这类函数，在对称的积分区域上的二重积分结果必然为0，这也能快速验证我们的结果是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CrSb0001