关于Lipschitz函数的积分不等式的严格证明问询

各位好，我正在尝试证明下面这个关于Lipschitz函数的积分不等式：

$$\int_a^b \Big( f(a)+f(b)-2f(x) \Big)dx\leq \frac{1}{2}\text{Lip}(f) (b-a)^2$$

其中$f$是Lipschitz函数，且$a < b$。我已经通过数值验证发现这个不等式对$\sin(x)$、$\cos(x)$、$\exp(x)$、多项式以及$|x|$这些函数都成立，但想知道是否能对所有Lipschitz函数给出严谨的证明？

目前我只能推导出一个较弱的版本：

$$\int_a^b \Big( f(a)+f(b)-2f(x) \Big)dx\leq \text{Lip}(f) (b-a)^2$$

弱版本证明过程 #

根据Lipschitz函数的定义，对任意$x,y \in [a,b]$，有$|f(x)-f(y)|\leq \text{Lip}(f) |x-y|$；同时对任意$x\in [a,b]$，显然有$|x-a|+|x-b|=b-a$。基于这两点可以推导：
$$\int_a^b \Big( f(a)+f(b)-2f(x) \Big)dx \leq \int_a^b |f(a)-f(x)| + |f(b)-f(x)|$$
$$\leq \text{Lip}(f) \int_a^b \left( |x-a| + |x-b| \right) dx = \text{Lip}(f) (b-a)^2$$

但这个估计太粗糙了，没办法得到$\frac{1}{2}\text{Lip}(f) (b-a)^2$这个更紧的上界。有没有大佬能给我一些证明思路或者提示？

非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Xiaokai WANG