紧算子强收敛习题证明的疑问求助

背景与问题描述 #

我最近在做紧算子相关的练习题，碰到了这么一个问题：

设 $K: X \to Y$ 是紧线性算子，$(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ 是 $X$ 中的序列，存在 $x \in X$ 使得对 $X^*$ 中每个有界线性泛函 $f$，都有 $f(x_n) \longrightarrow f(x)$。

a) 证明 $Kx_n \longrightarrow Kx$

我的证明过程 #

我给出的证明步骤如下：

首先利用紧算子必是有界算子的性质，写出不等式：
$$|Kx_n-Kx| \leq |K|\times|x_n-x|$$

然后我用到了Hahn-Banach定理的一个推论：

推论：对赋范线性空间 $X$ 中的任意 $x \in X$，存在线性泛函 $f \in X^{*}$ 满足 $|f| = 1$ 且 $f(x) = |x|$

因为 $x_n - x \in X$，所以根据这个推论，存在有界线性泛函 $f \in X^{*}$ 使得 $f(x_n - x)= |x_n-x|$。

接下来进行推导：
$$0 \leq |Kx_n-Kx| \leq |K|\times|x_n-x| = |K|(f(x_n)-f(x)) \leq |K| |f(x_n)-f(x)| $$

当 $n \longrightarrow \infty$ 时，根据题设条件 $|f(x_n)-f(x)|\longrightarrow 0$，由夹逼准则就能得出 $|Kx_n-Kx| \longrightarrow 0$，也就是 $Kx_n \longrightarrow Kx$。

我的疑问 #

可是我现在越想越不对劲：整个证明过程里我好像完全没用到$K$是紧算子这个条件？看起来只要$K$是有界线性算子就足够完成证明了，但我们都知道有界线性算子不一定是紧算子，这说明我的证明肯定存在错误。能不能麻烦帮我指出哪里出问题了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者liamsi Meean