多国家同产品价格与销量求解技术咨询

没问题，你手头的信息完全足够解出每个国家的价格和销量，我给你一步步拆解推导过程：

第一步：梳理已知条件并统一价格变量 #

我们已知：

• 各国销售额：$s_x = p_x q_x$，$s_y = p_y q_y$，$s_z = p_z q_z$（这些是给定的已知值）
• 总销量：$q_t = q_x + q_y + q_z$（给定的已知值）
• 相对定价规则：$p_y = 0.75p_x$，$p_z = 0.5p_x$

首先，我们可以把所有国家的价格都用$p_x$来表示，这样整个问题里就只剩$p_x$这一个未知价格变量了。

第二步：把各国销量用$p_x$表示 #

根据销售额公式，我们可以反推出各国销量：

• $q_x = \frac{s_x}{p_x}$
• $q_y = \frac{s_y}{p_y} = \frac{s_y}{0.75p_x}$（因为$p_y=0.75p_x$）
• $q_z = \frac{s_z}{p_z} = \frac{s_z}{0.5p_x}$（因为$p_z=0.5p_x$）

第三步：代入总销量等式求解$p_x$ #

把上面的三个销量表达式代入总销量公式$q_t = q_x + q_y + q_z$，得到：
$$
q_t = \frac{s_x}{p_x} + \frac{s_y}{0.75p_x} + \frac{s_z}{0.5p_x}
$$

我们可以把$\frac{1}{p_x}$提取出来，简化等式：
$$
q_t = \frac{1}{p_x} \left( s_x + \frac{s_y}{0.75} + \frac{s_z}{0.5} \right)
$$

现在就可以直接解出$p_x$了：
$$
p_x = \frac{s_x + \frac{s_y}{0.75} + \frac{s_z}{0.5}}{q_t}
$$

第四步：求解剩余价格和销量 #

• 得到$p_x$之后，根据相对定价规则直接算出其他国家的价格：
  $p_y = 0.75p_x$，$p_z = 0.5p_x$
• 最后用各国销售额除以对应价格，得到销量：
  $q_x = \frac{s_x}{p_x}$，$q_y = \frac{s_y}{p_y}$，$q_z = \frac{s_z}{p_z}$

合理性验证 #

因为题目中所有给定的销售额$s_x,s_y,s_z$和总销量$q_t$都是正数，所以计算出来的$p_x$必然是正数，进而$p_y,p_z$和所有销量也都是正数，完全符合题目要求的约束条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cpage