环形区域随机点生成两种方案的分布差异原因解析

在由minRadius和maxRadius构成的环形区域内生成随机点时，常用转换公式为：

x = x' + r*cos(a)
y = y' + r*sin(a)

其中(x', y')是环形的原点，r是点到原点的距离，a是点对应的角度。下面解析两种生成方案的差异：

第一种方案：点偏向中心的本质原因 #

方案代码 #

function get_point_in_circle(x', y', minRadius, maxRadius)
{
  var a = random(360);
  var r = random_range(minRadius, maxRadius);
  return { 
    x : x' + r * cos(a),
    y : y' + r * sin(a),
  }
}

偏向中心的原因 #

这个方案的问题出在半径r的采样方式：它直接在[minRadius, maxRadius]范围内均匀取随机值，但环形区域的面积分布是随半径增大而增加的——半径为r附近的环形细带，面积是2πrΔr，也就是说，半径越大，对应的环形带面积越大。

如果要实现均匀分布，落在每个环形带里的点数量应该和带的面积成正比。但这个方案里，不管是小半径还是大半径的环形带，被选中的概率是一样的，导致小半径区域（靠近中心）的点密度远高于大半径区域，最终呈现出点偏向中心的结果，这不是视觉错觉，是实际的密度分布问题。

第二种方案：实现均匀分布的逻辑 #

方案代码 #

x = random_range(-maxRadius, maxRadius);
y = random_range(-maxRadius, maxRadius);

// 筛选出到原点距离在(minRadius, maxRadius)之间的点

均匀分布的原因 #

这个方案是先在以原点为中心、边长为2*maxRadius的正方形区域内均匀生成随机点，再过滤掉不在目标环形里的点。

正方形内的均匀采样，本质是平面上的面积均匀分布——每个单位面积内的点数量相同。过滤后，留在环形区域内的点自然也保持了这种均匀性：大半径附近的环形带面积大，自然会留下更多点；小半径区域面积小，留下的点也更少，完全符合环形区域内均匀分布的要求，所以不会出现偏向中心的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Game Development