关于利用指示随机变量证明条件期望及相关展开式的疑问

嘿，我来帮你把这两个知识点拆解开，一步步讲明白，保证你能get到！

首先先搞懂那个随机变量的展开式：
$$X=\sum_{k=0}^{\infty} k\cdot\mathbb{I}{X=k}$$
这个式子专门针对取非负整数值的随机变量X（比如扔骰子的点数、某小时内的访客数这类计数型随机变量）。这里的$\mathbb{I}{事件}$是指示随机变量，规则超简单：当后面的事件发生时，它取值1；事件不发生时，取值0。

举个最直观的例子：假设X是扔一颗骰子得到的点数，那这个展开式就是：
$$X = 1\cdot\mathbb{I}{X=1} + 2\cdot\mathbb{I}{X=2} + 3\cdot\mathbb{I}{X=3} + 4\cdot\mathbb{I}{X=4} + 5\cdot\mathbb{I}{X=5} + 6\cdot\mathbb{I}{X=6}$$
如果实际扔出的是3，那$\mathbb{I}{X=3}=1$，其他所有$\mathbb{I}{X=k}$（k≠3）都是0，整个求和的结果就是3，刚好等于X的实际取值。本质上，这个式子就是把X的所有可能取值，用指示变量“筛选”出来再相加，是离散非负整值随机变量的标准分解方式。

接下来我们用这个展开式来推导你疑惑的条件期望公式：
$$\mathbb{E}[X|A] = \frac{1}{P[A]}\mathbb{E}[X\cdot\mathbb{I_A}]$$
先明确前提：这里要求$P[A]>0$（不然条件期望没意义）。

推导步骤： #

1. 先回忆离散随机变量条件期望的定义：
   $$\mathbb{E}[X|A] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k \mid A)$$
   而根据条件概率的定义，$P(X=k \mid A) = \frac{P(X=k \cap A)}{P(A)}$，代入后：
   $$\mathbb{E}[X|A] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{P(X=k \cap A)}{P(A)}$$

2. 计算右边的$\mathbb{E}[X\cdot\mathbb{I_A}]$：
   把X替换成刚才的展开式，利用期望的线性性（对于非负随机变量的无穷级数，单调收敛定理保证我们可以交换求和和期望的顺序）：
   $$\mathbb{E}[X\cdot\mathbb{I_A}] = \mathbb{E}\left[\left(\sum_{k=0}^{\infty} k\cdot\mathbb{I}{X=k}\right) \cdot \mathbb{I_A}\right] = \sum{k=0}^{\infty} k \cdot \mathbb{E}\left[\mathbb{I}_{X=k} \cdot \mathbb{I_A}\right]$$

3. 分析$\mathbb{I}{X=k} \cdot \mathbb{I_A}$：
   这个乘积只有当X=k且事件A发生时才等于1，否则为0，所以它其实就是事件${X=k \cap A}$的指示变量，而指示变量的期望等于对应事件的概率，即：
   $$\mathbb{E}\left[\mathbb{I}{X=k} \cdot \mathbb{I_A}\right] = P(X=k \cap A)$$

4. 代入化简：
   $$\mathbb{E}[X\cdot\mathbb{I_A}] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot P(X=k \cap A)$$
   两边除以$P[A]$，就得到：
   $$\frac{1}{P[A]}\mathbb{E}[X\cdot\mathbb{I_A}] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{P(X=k \cap A)}{P(A)} = \mathbb{E}[X|A]$$

这样就完成推导啦！另外补充一句：这个条件期望的公式其实不止适用于离散非负整值随机变量，只要X的期望存在，对于一般的随机变量（连续、混合类型）也成立，只是离散的情况用指示变量推导最直观~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tmatus