多初始硬币情况下机会游戏的公平奖金计算方法咨询

嗨，你的思路完全没问题！其实我们可以从期望的线性性和递推两种角度来解决这个问题，这里给你一步步拆解：

核心思路：公平奖金等于期望总花费 #

首先明确：公平奖金P等于游戏过程中总花费的期望（因为长期来看，只有当奖金等于期望花费时，双方都不会盈亏）。而每一轮固定花费1美元，所以总花费就是游戏进行的轮数，我们只需要计算期望轮数即可。

方法一：递推式计算 #

我们可以定义$E[m]$为当前有$m$个硬币时，游戏还需要进行的期望轮数。

• 边界条件：$E[0] = 0$（没有硬币，游戏结束，无需花费）
• 对于$m>0$：每一轮先花1美元，然后抛$m$个硬币，剩下$k$个硬币的概率是$\binom{m}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^m$（$k$从0到$m$）。因此递推式为：
  $$
  E[m] = 1 + \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^m E[k]
  $$
  整理后可以得到更易计算的形式：
  $$
  E[m] = \frac{2^m + \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} E[k]}{2^m - 1}
  $$

验证小例子 #

• 当$m=1$时：
  $$
  E[1] = \frac{2 + \binom{1}{0}E[0]}{2-1} = \frac{2+0}{1}=2
  $$
  和你计算的结果一致。
• 当$m=2$时：
  $$
  E[2] = \frac{4 + \binom{2}{0}E[0] + \binom{2}{1}E[1]}{4-1} = \frac{4+0+2*2}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.667
  $$

方法二：通项公式（高效计算大n值） #

如果要计算$n=16$这样的大数值，递推会比较麻烦，我们可以用二项式展开推导通项公式：

利用期望的另一种性质：对于非负整数随机变量（轮数$X$），期望$E[X] = \sum_{t=1}^\infty P(X \geq t)$，其中$P(X \geq t)$是游戏至少进行$t$轮的概率。

游戏至少进行$t$轮的概率，等价于至少有一个硬币在前$t-1$轮都抛出正面，即：
$$
P(X \geq t) = 1 - \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{t-1}\right)n
$$

将其代入期望公式，再通过二项式展开和等比数列求和，可以推导出通项公式：
$$
E[n] = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \binom{n}{i} \frac{2^i}{2i - 1}
$$

计算$n=16$的例子 #

你可以用这个公式直接计算，或者用简单的代码实现（比如Python）：

import math

def expected_fair_price(n):
    total = 0.0
    for i in range(1, n+1):
        sign = (-1) ** (i + 1)
        combination = math.comb(n, i)
        term = sign * combination * (2 ** i) / (2 ** i - 1)
        total += term
    return total

# 计算n=16的公平奖金
print(expected_fair_price(16))  # 输出约4.387

为什么这个公式成立？ #

简单来说，我们把每个硬币的“贡献”拆解，用容斥原理计算所有可能的轮数概率。二项式展开后，每一项对应选取$i$个硬币，计算它们都存活到某一轮的概率，再通过容斥抵消重复计算的部分，最终得到期望轮数。

这样不管$n$多大，都能快速算出公平奖金啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Oscar Flores