射影空间ℙⁿ上可逆层Γ(ℙⁿ, 𝒪(k))与k次齐次多项式空间典范同构的证明求助

各位大佬好，我最近在尝试证明下面这个结论，但一直没找到头绪，想请教大家：

对任意$k\ge 0$，全局截面空间$\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(k))$与所有$k$次齐次多项式构成的空间$\mathbb{C}[z_0,\dots,z_n]_k$典范同构。

我实在搞不懂，为什么所有全局截面$s : \mathbb{P}^n \to \mathcal{O}(k)$都对应着齐次多项式。我已经知道$\mathcal{O}(k) \cong \mathcal{O}(1)^{\otimes k}$，也清楚$\mathcal{O}(1)$是射影空间$\mathbb{P}^n$上的 tautological 线丛$\mathcal{O}(-1)$的对偶丛，但这些信息好像还不够支撑我完成证明。如果有人知道具体的证明方法，或者能给我梳理一下证明思路，我会非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nathaniel Johonson