不同空间上高斯核诱导的再生核希尔伯特空间（RKHS）的关系问询

我最近在学习**最大均值差异（Maximum Mean Discrepancy）相关的再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS）**知识，目前我对核心概念的理解可以总结如下：

• 给定集合$X$和希尔伯特空间$H$，函数$k: X \times X \to \mathbb{R}$被称为再生核，当且仅当满足再生性：对任意$x \in X$和任意$f \in H$，有
  $$\langle f, k(\cdot, x) \rangle_H = f(x)$$

• 函数$k: X \times X \to \mathbb{R}$是核，当且仅当存在希尔伯特空间$H$和特征映射$\phi: X \to H$，使得
  $$k(x, y) = \langle \phi(x), \phi(y) \rangle_H$$

从上述定义可以推出，RKHS $H$中的再生核显然是一个核，对应的特征映射就是$\phi(x) = k(\cdot, x)$。反过来，每个正定函数$k(x,y)$都能唯一对应一个RKHS $H$，且$k$是这个空间的再生核——这就是Moore-Aronszajn定理的核心结论。

现在我有一个疑问想请教大家：假设我们定义两个高斯核，一个是在集合$X$上的：
$$k(x_1, x_2) = e^{-\frac{|x_1 - x_2|^2}{2\sigma2}}$$
另一个是在完全不同的集合$Y$上的（比如在机器学习场景中，$X$是特征空间，$Y$是标签空间，二者性质差异很大）：
$$k(y_1, y_2) = e^{-\frac{|y_1 - y_2|^2}{2\sigma2}}$$

这两个核之间有什么关系？它们诱导的RKHS是同一个吗？具体来说，如果$H$是$X$上高斯核对应的RKHS，$H'$是$Y$上高斯核对应的RKHS，$\phi: X \to H$和$\tilde{\phi}: Y \to H'$是各自的特征映射，那么$H$和$H'$是否相等？$\phi$和$\tilde{\phi}$是否相等？

可能这是个比较基础的问题，但如果有人能帮我理清这些点的话，我会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Riesz98