任意集合A上是否一定存在自由ℚ-模？

答案是肯定的，我来给你拆解下具体的构造思路：

• 首先，我们已经知道任意集合A上都能构造自由$\mathbb{Z}$-模$F(A)$，它的元素就是以A中元素为基的有限整数系数形式线性组合，运算规则就是常规的加法和整数数乘。
• 接下来，我们可以把这个自由$\mathbb{Z}$-模扩展成$\mathbb{Q}$-模：把$F(A)$里的整数系数替换成有理数系数，得到所有形如$\sum_{a \in A} q_a a$的有限形式和（其中$q_a \in \mathbb{Q}$，且只有有限个$q_a$非零），然后定义自然的加法和$\mathbb{Q}$数乘运算。这个集合就是以A为基的自由$\mathbb{Q}$-模。
• 换个更代数的角度看，这个构造其实等价于计算张量积$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} F(A)$，这个张量积本身就是自由$\mathbb{Q}$-模，它的基对应${1 \otimes a \mid a \in A}$，和我们直接扩展系数得到的结果是一致的。

简单来说，既然$\mathbb{Z}$是$\mathbb{Q}$的子环，我们可以把自由$\mathbb{Z}$-模的系数域扩大到$\mathbb{Q}$，自然就得到了对应的自由$\mathbb{Q}$-模，而自由$\mathbb{Z}$-模的存在性是我们已经确认的，所以自由$\mathbb{Q}$-模肯定也存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123