使用树方法求解递归式T(n/4)+T(n/2)+n²的疑问咨询

嘿，我来帮你把这个递归树的问题理清楚，你的两个疑问其实都指向对递归树中「子问题规模」和「层代价计算」的混淆，我们一个个来拆：

疑问1：T(?)列用(n²/2^i)而非(n/2^i)是否正确？ #

这肯定是错误的，核心原因是你搞混了「子问题的规模」和「子问题的代价」：

• 递归树的T(?)列记录的是当前节点对应的子问题规模，比如根节点是T(n)，它的两个子节点分别是T(n/4)和T(n/2)，第i层的子问题规模应该是类似n/4^a或n/2^b（其中a+b=i，取决于每一步选择的是n/4还是n/2分支），而不是n²/2^i。
• n²/2^i这类表达式应该是子问题的代价（即递归式中的非递归项f(size)，这里f(x)=x²），比如规模为n/2的子问题，代价是(n/2)² = n²/4 = n²/2²，规模为n/4的子问题代价是(n/4)² = n²/16 = n²/4²。

你出错的根源就是把「子问题规模」和「子问题代价」的概念搞混了，把代价的表达式写到了T(?)列里，这就导致后续的计算全错了。

疑问2：最后一步节点数与时间的乘法是否正确？级数变量是否应使用2^i？ #

首先明确：直接用节点数乘以单个时间是错误的，因为递归树中同一层的子问题规模并不相同（有的是n/4^i，有的是n/2^i，还有混合的），每个节点的代价是不一样的，不能直接用节点数×单个节点代价。

正确的做法是计算每一层的总代价：

1. 第0层（根节点）：1个节点，代价是n²
2. 第1层：2个节点，代价分别是(n/4)²和(n/2)²，总代价为n²/16 + n²/4 = 5n²/16
3. 第2层：4个节点，代价分别是(n/16)²、(n/8)²、(n/8)²、(n/4)²，总代价为n²/256 + 2*(n²/64) + n²/16 = 25n²/256 = (5/16)² *n²
4. 以此类推，第i层的总代价是(5/16)^i *n²

接下来确定递归树的深度：当子问题规模缩小到1时停止，也就是最小的子问题规模n/4^i =1时，i=log₄n；或者n/2^i=1时i=log₂n，这里取最深的深度log₂n（因为n/2的分支缩小得更慢）。

然后把所有层的代价加起来，得到级数：
T(n) = n² + (5/16)n² + (5/16)²n² + ... + (5/16)^{log₂n}n²

这是一个等比级数，公比r=5/16 <1，所以无穷级数的和是n²/(1-5/16) = 16n²/11，因此T(n)=Θ(n²)。

回到你的问题：

• 节点数确实是2^i（第i层有2^i个节点），但不能直接用2^i乘以某个统一的代价，因为每个节点的规模不同，代价不同；
• 级数的变量是i（从0到log₂n），每一项是第i层的总代价(5/16)^i *n²，而不是用2^i作为变量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JimBelushi2