Hetzner云环境下私有网络主机通过同网段带公网主机上网的配置问题求助

我是个网络新手，最近遇到了个棘手的问题：想让一台只有私有网络连接的主机，通过另一台同时拥有公网和私有网络连接的主机共享上网，现在卡壳了，想请教大家怎么解决。

先给大家说下我的网络环境：

• 私有网段是10.0.0.0/16，其中用的子网是10.0.0.0/24
• 私有网络里有两台主机：
  • 私有主机（我叫它private）：只有一个ens10接口，IP是10.0.0.3
  • 网关主机（我叫它gateway）：ens10接口的IP是10.0.0.2，另外还有个eth0接口配了公网IP1.2.3.4，这台主机能正常访问互联网

我已经做了这些配置：
在gateway主机上，我用root权限执行了以下操作：

• 开启IP转发：sysctl -w net.ipv4.ip_forward=1
• 配置了iptables的NAT和转发规则：

  iptables -t nat -A POSTROUTING -o eth1 -j MASQUERADE
  iptables -A FORWARD -i eth1 -o ens10 -m state --state RELATED,ESTABLISHED -j ACCEPT
  iptables -A FORWARD -i ens10 -o eth1 -j ACCEPT
  

然后在private主机上，我尝试添加默认网关指向gateway的私有IP，结果出问题了：

• 用route add default gw 10.0.0.2命令，得到报错：SIOCADDRT: Network is unreachable
• 换用ip命令试试：ip route add default via 10.0.0.2，还是报错：Error: Nexthop has invalid gateway.

我现在的疑问是：

怎么才能让private主机的所有流量通过10.0.0.2转发出去上网？或者我在某台主机的配置步骤里哪里弄错了？

补充下：我的私有网络是在Hetzner云平台上的，private主机默认的路由配置是这样的：

10.0.0.0/16 via 10.0.0.1 dev ens10
10.0.0.1 dev ens10 scope link
xx.yy.169.254 via 10.0.0.1 dev ens10

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1560141