无放回抽取编号卡片的和的方差计算方法及扩展问题咨询

嘿，我完全懂你用casework逐个枚举计算时的痛苦——那种重复计算的过程确实又耗时又容易出错。其实咱们可以借助概率论里的方差性质来快速搞定，不管是1-10的小范围，还是1-n的通用情况，都能一步到位，咱们慢慢拆解：

核心公式：两个变量和的方差 #

首先记住这个关键公式：对于任意两个随机变量X和Y，它们和的方差满足：
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
这里的Cov(X,Y)是X和Y的协方差，因为咱们是无放回抽取，A和B不独立，所以协方差不能直接忽略，但借助对称性，咱们能快速算出所有需要的项。

第一步：计算单个变量的期望与方差 #

不管是先抽的A还是后抽的B，它们的边缘分布是完全一致的——因为对称性，每张卡片被抽到的概率都是1/n（比如算B抽到k的概率：先没抽到k的概率是(n-1)/n，再从剩下的n-1张里抽到k的概率是1/(n-1)，相乘后就是1/n，和A的分布一样）。

• 期望：1到n的平均数，也就是 E[A] = E[B] = (n+1)/2
• 方差：用方差定义式Var(X) = E[X²] - (E[X])²计算：
  先算E[X²]，也就是1²到n²的平均数，公式是 (n+1)(2n+1)/6，代入后化简可得：
  Var(A) = Var(B) = (n² - 1)/12
  这个是整数均匀分布的方差公式，记下来以后遇到类似问题直接用就行。

第二步：计算A和B的协方差 #

协方差的公式是 Cov(A,B) = E[AB] - E[A]E[B]，核心是算E[AB]（A和B乘积的期望）：
咱们可以用总和技巧：所有i≠j的ij的总和，除以总的抽取组合数n(n-1)。而所有i≠j的ij的总和，等于(1+2+...+n)² - (1²+2²+...+n²)（平方展开后，交叉项就是i≠j的乘积，减去平方和就得到所有i≠j的乘积和）。
代入1到n的和与平方和的公式，化简后得到：
E[AB] = (n+1)(3n+2)/12
再减去E[A]E[B] = [(n+1)/2]²，最终算出协方差：
Cov(A,B) = -(n+1)/12

第三步：合并得到最终方差公式 #

把前面的结果代入和的方差公式：

Var(A+B) = 2*(n²-1)/12 + 2*(-(n+1)/12)
= (n²-1)/6 - (n+1)/6
= (n² - n - 2)/6

也可以因式分解成(n-2)(n+1)/6，这样看起来更直观。

代入n=10的情况验证 #

把n=10代入公式：
Var(A+B) = (10² -10 -2)/6 = 88/6 = 44/3 ≈14.67
比你之前用casework枚举快太多了吧？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者plorydory