关于向量组线性相关性与线性表出的证明方法疑问

首先明确原问题和你的证明思路：

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，问：$\alpha_4$ 能否由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出？

你的疑问是：为什么下面的证明方法不成立？如果有错，错在哪里？

你的证明过程：
$$\because \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \text{ 线性相关}$$
$$\therefore k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0 \text{，存在 } k_i \neq 0 (i \in {1,2,3})$$
$$\therefore k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 = 0 \text{，存在 } k_i \neq 0 (i \in {1,2,3,4}) \text{，这里取 } k_4=0$$
$$\therefore \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \text{ 线性相关}$$
$$\therefore \alpha_4 \text{ 可以由 } \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \text{ 线性表出}$$

你的证明核心错误在哪里？ #

你踩了一个线性代数里非常典型的逻辑坑：把“向量组线性相关”错误等价于“任意向量都能被其余向量线性表出”，但这两者根本不是一回事！

线性相关的定义只是：存在一组不全为零的系数，使得向量的线性组合等于零向量。但这组系数里的非零元素，不一定对应你想要表出的那个向量。

具体到你的推导里：

• 你推出 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性相关是对的，但这个结论只能说明“存在某一组不全为零的系数让组合为零”——而你找到的这组系数是 $k_1,k_2,k_3,0$，非零系数只在前三个向量上，$\alpha_4$ 的系数是0。这种情况下，你根本没法通过这个等式解出 $\alpha_4$ 关于前三个向量的表达式，因为 $\alpha_4$ 根本没参与到“有效”的线性组合里。

举个直观的反例帮你理解：
设 $\alpha_1 = (1,0,0)$，$\alpha_2 = (1,0,0)$，$\alpha_3 = (0,1,0)$，$\alpha_4 = (0,0,1)$。

• $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关：因为 $1\cdot\alpha_1 -1\cdot\alpha_2 +0\cdot\alpha_3 = 0$，满足线性相关定义；
• $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关：这三个向量是三维空间的部分基，显然线性无关；
• 但 $\alpha_4=(0,0,1)$ 绝对不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出，因为前三个向量都在 $xy$ 平面上，而 $\alpha_4$ 在 $z$ 轴上。

这个例子直接推翻了你最后一步的结论，说明你的推导逻辑存在致命漏洞。

正确的推导思路 #

我们可以用反证法来证明 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出：

1. 因为 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关，所以它的子集 $\alpha_2,\alpha_3$ 必然也线性无关（线性无关组的任意子集都线性无关）；
2. 又因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，且 $\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，根据线性相关的性质，$\alpha_1$ 可以唯一地由 $\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出；
3. 假设 $\alpha_4$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出，把 $\alpha_1$ 用 $\alpha_2,\alpha_3$ 的表达式代入，就会得到 $\alpha_4$ 能由 $\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出，这与 $\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 线性无关矛盾；
4. 因此假设不成立，$\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表出。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ran li