关于ℝ^ℕ与实系数多项式集合ℝ[x]的同胚性及等距映射的疑问

首先得先纠正一下你写的映射定义——我猜你是想说把ℝ^ℕ里的序列$(x_1, x_2, x_3, ...)$对应到多项式$x_1 + x_2x + x_3x^2 + ...$？不过这里有个核心问题：ℝ[x]里的所有多项式都是有限次的，也就是说每个多项式只有有限个非零系数，而ℝ^{ℕ里的序列可以包含无限个非零元素，所以这个映射其实是把ℝ}ℕ映射到形式幂级数集合ℝ[[x]]，而不是ℝ[x]，这是第一个容易混淆的点。

接下来回到你的核心疑问：为什么ℝ的情况不能像你想的那样构造等距映射？我们可以从几个角度拆解：

1. 向量空间维度的本质差异 #

作为实数上的向量空间，ℝ[x]的一组基是${1, x, x^2, ...}$，维度是可数无限的（$\aleph_0$）；而ℝ^{ℕ作为向量空间，它的维度是不可数无限的（$2}{\aleph_0}$）——简单来说，你找不到可数个向量能张满ℝ^ℕ。向量空间的维数是线性同构的不变量，连线性同构都不存在，更别说还要严格保持距离的等距映射了。

2. 度量空间的完备性差异 #

假设我们给两个空间赋予合理的度量：

• 对于ℝ^{ℕ，常用的比如$\ell}2$度量：$d((x_n), (y_n)) = \sqrt{\sum_{n=1}^\infty (x_n - y_n)^2}$（只考虑平方可和序列的话，这个空间是完备的），或者乘积度量（比如$d((x_n), (y_n)) = \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n - y_n|}{2^n(1+|x_n - y_n|)}$，这个空间也是完备的）。
• 对于ℝ[x]，我们可以把它看成ℝ^ℕ中“有限支撑”的序列（后面全是0），然后继承同样的度量。但此时ℝ[x]是不完备的——比如考虑多项式序列$p_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^{k-1}}{2k}$，这个序列在$\ell^2$度量下是柯西的，但它的极限是$\frac{1}{2 - x}$，这是个形式幂级数，不是多项式，所以在ℝ[x]里找不到极限。

而等距映射是严格保持完备性的：如果两个度量空间之间存在等距双射，那么它们要么同时完备，要么同时不完备。这里ℝ^ℕ（赋予上述常见度量）是完备的，ℝ[x]却不是，所以不可能存在这样的等距映射。

关于整数情况的补充（你提到的额外疑问） #

你说$\mathbb{Z}[x]$和$\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ cardinality不同，这个判断完全正确：

• $\mathbb{Z}[x]$里的每个多项式对应一个有限长度的整数序列，所有这样的序列的集合基数是$\aleph_0$（可数无限）。
• 而$\mathbb{Z}^{\mathbb{N}$是所有整数无限序列的集合，基数是$\aleph_0}{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$（不可数无限）。

基数不同的集合之间连双射都不存在，更别说等距映射了——这就是整数情况不可能的核心原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gonzalo