求解满足特定递推规则的自然数数列a₉的最值之和的技术问题

问题描述 #

设数列${a_n}$满足对所有$n\in\mathbb{N}$，$a_n\in\mathbb{N}$（正自然数）。已知$a_7 = 40$，且递推规则为：
$$a_{n+2} =
\begin{cases}
a_{n+1} + a_n & \left(\text{若 } a_{n+1} \text{ 不是3的倍数}\right)\
\frac{a_{n+1}}{3} & \left(\text{若 } a_{n+1} \text{ 是3的倍数}\right)
\end{cases}
$$
求$a_9$的最大值与最小值之和。

我的初步思路 #

我一开始想着倒推找前项，但遇到了瓶颈：

• 如果假设$a_6$是3的倍数，那根据递推规则，$a_7 = a_6/3 = 40$，可得$a_6=120$，接着算得$a_8=40+120=160$，$a_9=160+40=200$，但这只是其中一种情况。
• 但如果$a_6$不是3的倍数，那$a_7 = a_6 + a_5$，可$a_6$和$a_5$都没有给定信息，我不知道该怎么往下推了。

正确推导过程 #

别着急，我们换个方向，从$a_7$出发，先确定$a_8$的所有可能值，再推导$a_9$的可能值，这样更直接——毕竟递推是由前两项推下一项，我们已知$a_7$，只需要锁定$a_8$的所有可能性，再计算$a_9$即可。

首先明确：$a_7=40$不是3的倍数，所以根据递推规则，$a_8 = a_7 + a_6 = 40 + a_6$，而$a_6$的取值要满足$a_7$的生成规则，分两种子情况：

子情况1：$a_6$不是3的倍数 #

此时$a_7 = a_6 + a_5 = 40$，$a_6$和$a_5$都是正自然数，所以$a_6$可以取1到39之间所有非3的倍数的正整数（因为$a_5=40-a_6≥1$），对应的$a_8$范围是41到79，且排除43、46、...、79中3的倍数对应的数值。

子情况2：$a_6$是3的倍数 #

此时$a_7 = a_6/3 = 40$，解得$a_6=120$（唯一正自然数解），对应的$a_8=40+120=160$。

接下来我们通过$a_8$推导$a_9$，同样分两种规则：

• 若$a_8$是3的倍数，$a_9 = a_8/3$
• 若$a_8$不是3的倍数，$a_9 = a_8 + 40$

寻找$a_9$的最大值

要让$a_9$最大，显然优先选择$a_8$尽可能大且非3的倍数的情况（因为$a_8+40$远大于$a_8/3$）。$a_8$的最大值是子情况2中的160，160不是3的倍数，所以$a_9=160+40=200$，这就是最大值。

寻找$a_9$的最小值

要让$a_9$最小，优先找最小的3的倍数的$a_8$（因为$a_8/3$会远小于$a_8+40$）。$a_8=40+a_6$要为3的倍数，需满足$a_6≡2\pmod{3}$（因为40≡1\pmod{3}，1+2=3≡0\pmod{3}）。最小的满足条件的$a_6$是2（此时$a_5=40-2=38$，符合自然数要求），对应的$a_8=42$，所以$a_9=42/3=14$，这就是最小值。

总结 #

$a_9$的最大值为200，最小值为14，两者之和为$200+14=214$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者unknownSparsy