问询：‘perpendicular phase incoherence’是否满足三角不等式

咱们先从基础设定说起：设S是复平面上的单位圆，也就是
$$ S = {z \in \mathbb{C} : |z| = 1}. $$

给定k组单位圆上的点 $z_1^{(1)},z_1{(2)},z_2^{(1)},z_2{(2)},\ldots,z_k^{(1)},z_k{(2)} \in S$，我们定义三个核心量：
\begin{align*}
A &:= \left|\sum_{j=1}^k z_j^{(1)}z_j{(2)}\right| \
B_1 &:= \left|\sum_{j=1}^k z_j^{(1)}\right| \
B_2 &:= \left|\sum_{j=1}^k z_j^{(2)}\right|,
\end{align*}

现在关键问题来了：下面这个不等式是否一定成立？
$$ \sqrt{k^2 - A^2} \leq \sqrt{k^2 - B_1^2} + \sqrt{k^2 - B_2^2} \tag{∗} $$

背景补充 #

之前我曾问过两个类似的不等式问题：第一个是判断是否一定有
$$ A \geq B_1 + B_2 - k \tag{1} $$
如果这个不成立，那是否至少满足
$$ A^2 \geq B_1^2 + B_2^2 - k^2 \tag{2} $$

不等式(1)有很直观的几何解释：单位圆上质点重心到单位圆的径向距离，在角度叠加操作下是否满足某种三角不等式。而(2)是更弱的版本，把“到单位圆的距离”替换成了“1减去到原点距离的平方”。后来验证发现(2)并不总是成立，那(1)自然也不成立了。

不过现在我意识到，当时对(2)的提问其实没抓住重点——它并没有简洁的几何意义。但如果对(2)里的距离相关项取平方根，就能得到上面的(∗)，这个式子的几何意义和(1)类似，只是把“径向距离”换成了垂直于径向的距离。

我猜测之前用来反驳(2)的反例，应该不会成为(∗)的反例——毕竟那个反例画出来是个实实在在的三角形，对应的三角不等式刚好不会违反(∗)。

这个问题和时间序列分析相关，具体关联可以参考之前的讨论背景。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Julian Newman