R-模范畴中正向极限两种定义等价性证明的相关模结构疑问

背景与定义 #

定义1（集合论构造的正向极限） #

设$(I,\leq)$是一个定向集，$({M_i},{f_{ij}})$是$R$-模的正向系。我们定义正向极限为$M_i$的不交并模一个等价关系：
$$
\varinjlim M_i = \bigsqcup_i M_i \bigg/ {\sim}.
$$
其中，若$x_i \in M_i$且$x_j \in M_j$，则$x_i \sim x_j$当且仅当存在某个指标$k \in I$满足$i\leq k$且$j \leq k$，使得$f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)$。直观来说，不交并中的两个元素等价当且仅当它们在正向系中“最终相等”。用严格记号表示：$(i,\alpha) \sim (j,\beta)$当且仅当存在某个大于$i,j$的$k$，使得$f_{ik}(\alpha) = f_{jk}(\beta)$。特别地，$(i,\alpha) \sim (k,f_{ik}(\alpha)) = (k,f_{jk}(\beta))\sim(j,\beta)$。

定义2（范畴论的正向极限） #

正向极限$C$是一个对象，带有态射$\alpha_i:C_i \rightarrow C$，满足对所有$i \leq j$有$\alpha_i = \alpha_j f_{ij}$；并且若存在对象$D$及态射$\beta_i:C_i \rightarrow D$满足$\beta_i = \beta_jf_{ij}$，则存在唯一的态射$\varphi:C \rightarrow D$使得$\beta_i = \varphi\alpha_i$且$\beta_j = \varphi\alpha_j$。

我的思路与疑问 #

我现在想要证明这两种正向极限的定义在$R$-模范畴中是等价的，我的思路是构造映射$\alpha_i:M_i \rightarrow \sqcup_i M_i/{\sim}$，通过自然嵌入$\varphi_i:M_i \rightarrow \sqcup_i M_i$和投影$\pi:\sqcup_i M_i \rightarrow \sqcup_i M_i/{\sim}$复合得到。

不过我遇到了一些具体问题：

• 能不能给$\sqcup_i M_i$赋予$R$-模结构，使得$\varphi_i$是$R$-模同态？$R$-数乘看起来没问题：$r(i,m) = (i,rm)$，但我想不出怎么定义$(i,m)+(j,n)$。
• 另外，$\sqcup_i M_i/{\sim}$上的$R$-模结构是什么样的？因为元素都是等价类，比如我定义$r[(i,m)] = [(i,rm)]$，首先得证明这个定义是良定的吧？那加法又该怎么定义呢？

提前感谢各位的解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Irving Rabin