递归过程条件期望求解：离散时间球篮过程中E[X_{n+1}|F_n]的计算疑问

先给你点个赞，你前面推导的三个转移概率是完全正确的，这已经走对了大半路啦！咱们一步步来拆解这个条件期望的计算：

首先，你把$X_{n+1}$写成$X_n + Y$这个思路非常关键，接下来利用条件期望的线性性，可以直接拆分：
$$E[X_{n+1}|F_n] = E[X_n + Y | F_n] = E[X_n|F_n] + E[Y|F_n]$$

这里有个核心性质你可能没注意到：$X_n$是$F_n$可测的（毕竟$F_n$就是由$X_n$生成的自然 filtration，简单说就是到时间$n$为止的所有信息都包含$X_n$，所以在给定$F_n$的条件下，$X_n$相当于“已知量”），因此$E[X_n|F_n] = X_n$。

接下来处理$E[Y|F_n]$：$Y$的取值是${-1,0,1}$，对应的条件概率就是你已经算出的那些——因为这些概率完全由$X_n$决定，而$X_n$在$F_n$下是确定的，所以直接代入期望公式：
$$
\begin{align*}
E[Y|F_n] &= 1 \cdot P(Y=1|F_n) + 0 \cdot P(Y=0|F_n) + (-1) \cdot P(Y=-1|F_n) \
&= \frac{(K-1)X_n}{NK} - \frac{N - X_n}{NK}
\end{align*}
$$

咱们来化简这个式子：
分子部分展开后：$(K-1)X_n - (N - X_n) = KX_n - X_n - N + X_n = KX_n - N$
所以：
$$E[Y|F_n] = \frac{KX_n - N}{NK} = \frac{X_n}{N} - \frac{1}{K}$$

最后把两部分加起来：
$$
\begin{align*}
E[X_{n+1}|F_n] &= X_n + \left( \frac{X_n}{N} - \frac{1}{K} \right) \
&= X_n \cdot \frac{N+1}{N} - \frac{1}{K}
\end{align*}
$$

另外补充个小思路：你担心不能用$E[X_{n+1}|X_n=x]$其实没必要，因为$F_n$是由$X_n$生成的，所以$E[X_{n+1}|F_n]$本质就是关于$X_n$的函数——你可以先算固定$X_n=x$时的条件期望（得到一个关于$x$的表达式），再把$x$换成随机变量$X_n$，结果和上面是完全一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kilkik