Polya urn问题：证明$R_n \to \infty$时应采用鞅还是大数定律？$X_i$的分布是什么？

嘿，我来帮你理清这个Polya urn问题的核心困惑，咱们一步步拆解：

先明确$X_i$的分布 #

你定义的$X_i$是第i轮抽到的红球数（本质是0或1的指示变量），它不是独立同分布的伯努利变量，也不是二项分布——这里的关键误区是忽略了每一轮的抽球概率依赖于之前的结果：

• 第i轮开始时，urn里有$r+b+i-1$个球，其中红球数是$R_{i-1}$（第i-1轮结束后的红球数）
• 所以$X_i$服从参数为$\frac{R_{i-1}}{r+b+i-1}$的伯努利分布，即$X_i \sim \text{Bernoulli}\left(\frac{R_{i-1}}{r+b+i-1}\right)$
• 这个参数是随机的，完全由前i-1轮的抽球结果决定，因此$X_i$序列既不独立，也不同分布，经典大数定律的前提条件不满足。

方法选择：鞅是正确的路径，大数定律不适用 #

为什么经典LLN用不了？ #

强大数定律（SLLN）要求变量独立同分布（或满足遍历性等弱条件），但这里每一轮的抽球概率都依赖于历史，变量之间高度相关，完全不满足独立同分布的要求，所以直接用LLN推导是不严谨的。

鞅方法的具体思路 #

Polya urn问题的标准分析工具就是鞅，我们可以构造一个关键的鞅来推导$R_n$的极限行为：
考虑红球在总球数中的比例$W_n = \frac{R_n}{r+b+n}$，可以验证它是一个非负鞅：

给定前n-1轮的信息$\mathcal{F}{n-1}$，条件期望为：
$$
E\left[W_n \mid \mathcal{F}{n-1}\right] = E\left[\frac{R_{n-1} + X_n}{r+b+n} \mid \mathcal{F}{n-1}\right]
$$
代入$E[X_n \mid \mathcal{F}{n-1}] = \frac{R_{n-1}}{r+b+n-1}$，化简后可得：
$$
E\left[W_n \mid \mathcal{F}{n-1}\right] = W{n-1}
$$

根据鞅收敛定理，非负鞅$W_n$几乎必然收敛到某个随机变量$W$（$0 \leq W \leq 1$）。接下来只需要证明$W > 0$几乎必然：

• 首先，鞅的期望是不变的：$E[W_n] = \frac{r}{r+b}$对所有n成立，因此$E[W] = \frac{r}{r+b} > 0$，这说明$W=0$的概率必须是0（否则期望会是0）
• 既然$W > 0$几乎必然，那么$R_n = (r+b+n) \cdot W_n$，当$n \to \infty$时，$(r+b+n)$趋向无穷，乘以一个几乎必然为正的$W_n$，自然$R_n \to \infty$几乎必然
• 最后，$R_n$趋向无穷等价于红球被抽到无穷多次——如果只抽到有限次红球，$R_n$会停在某个有限值$r+k$（k是有限的抽中次数），和$R_n \to \infty$矛盾。

补充：为什么有人会提到LLN？ #

可能是一些启发式的说法（比如直观上“长期来看比例稳定”），但严格的证明必须依赖鞅工具，因为经典LLN的前提不满足。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者idlatva