关于排列中含不动点的逆序对占比的相关定理及证明方法问询

问题背景与核心定义 #

先明确几个关键概念：

• 逆序对：对于排列$X$，当满足$i < j$且$X_i > X_j$，或者$i > j$且$X_i < X_j$时，$(X_i, X_j)$称为一个逆序对。
• 不动点：若排列中某位置$i$满足$X_i = i$，则该元素是不动点（等价于排列循环分解里长度为1的循环）。显然，一个逆序对里最多只能有一个元素是不动点。

初始观察与疑问 #

我发现当$n=4$时，任意一个含逆序对的4元排列中，随机选一个逆序对，这个逆序对包含至少一个不动点的概率$P < 0.5$——也就是说，不含不动点的逆序对占多数。

现在我想知道这个结论是否能推广到更大的$n$？是否存在已有的定理可以证明或证伪这个结论？或者有没有人能给我一些思路，指导我如何去证明（或证伪）这个结论？

补充：找到$n=5$的反例 #

后来我找到了$n=5$时的反例：排列$(1,5,3,4,2)$。这个排列的不动点是${1,3,4}$，逆序对为${(5,3),(5,4),(5,2),(3,2),(4,2)}$。其中有4个逆序对包含不动点，占比达到$4/5 > 0.5$，这说明原结论并不适用于所有$n$。

不过我仍然对这个问题相关的理论感兴趣，想知道有没有相关的定理涉及这类逆序对占比的问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者virtuolie