关于Nievergelt《复分析》中某证明的疑问及推导验证

核心疑问 #

在蓝色线对应的证明部分，为什么当 $|z| \to r$ 时 $u(z) \to 0$？我理解这里 $\theta(z) \to \infty$，但怎么能得出当 $|z| \to r$ 时 $|f'(z)|$ 或者 $\lambda(f(z))$ 不会趋向于无穷大呢？谢谢！

自我推导验证 #

后来我琢磨明白啦！因为 $0 < r < R$，可以取闭圆盘 $\overline{D_r} \subset D_R$，而这个闭圆盘是紧集。由于 $f'$ 是连续函数，所以 $f'(\overline{D_r})$ 必然是有界的；同时 $f$ 和 $\lambda$ 也都是连续的，所以 $\lambda(f(\overline{D_r}))$ 也有界。又因为开圆盘 $D_r$ 包含在 $\overline{D_r}$ 里，那 $\lambda(f(D_r))$ 和 $f'(D_r)$ 自然也都是有界的，这样一来 $u(z)$ 的极限确实是0。这个推导应该没问题吧？

后续新疑问 #

不过等等，紧接下面一行又有问题了：为什么 $u(a) \in D_r$？根据最大模原理，这应该是不可能的啊？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ProofSeeker