关于含勒让德符号的素数幂次求和一般性递推关系的验证问询

我最近在做Analytic Number Theory（Florian Luca与Jean Marie De Koninck合著）第14章的习题14.2，里面有一系列关于含勒让德符号的素数求和证明题：

• 证明对于任意素数 $p\equiv 1\pmod 4$，有：
  $$\sum _{r=1}^{p-1}r\left(\frac{r}{p}\right)=0$$
• 证明对于任意素数 $p\equiv 3\pmod 4$，有：
  $$\sum _{r=1}^{p-1}r2\left(\frac{r}{p}\right)=p\sum _{r=1}^{p-1}r\left(\frac{r}{p}\right)$$
• 证明对于任意素数 $p\equiv 1\pmod 4$，有：
  $$\sum _{r=1}^{p-1}r3\left(\frac{r}{p}\right)=\frac{3p}{2}\sum _{r=1}^{p-1}r2\left(\frac{r}{p}\right)$$
• 证明对于任意素数 $p\equiv 3\pmod 4$，有：
  $$\sum _{r=1}^{p-1}r4\left(\frac{r}{p}\right)=2p\sum _{r=1}^{p-1}r3\left(\frac{r}{p}\right)-p^2\sum_{r=1}{p-1}r^2\left(\frac rp\right)$$

这些题目的解法思路其实挺清晰的：稍微对表达式做些变形，再结合勒让德符号的核心性质——当 $p\equiv 1\pmod 4$ 时 $\left(\frac{-1}{p}\right)=1$，当 $p\equiv 3\pmod 4$ 时 $\left(\frac{-1}{p}\right)=-1$ 就能解决。

不过看着这些等式的形式，我总觉得应该能推广成更一般的递推关系。我现在的疑问是：下面这两类一般性的等式是否成立？

1. 对于素数 $p\equiv 3\pmod 4$，是否存在系数 $c_i(p)$ 使得：
   $$\sum {r=1}^{p-1}r{2k}\left(\frac{r}{p}\right)=\sum{i=1}^{2k-1}c_i(p)\sum _{r=1}^{p-1}r{2k-i}\left(\frac{r}{p}\right)$$
2. 对于素数 $p\equiv 1\pmod 4$，是否存在系数 $c^\prime_i(p)$ 使得：
   $$\sum {r=1}^{p-1}r{2k-1}\left(\frac{r}{p}\right)=\sum{i=1}^{2k-2}c\prime_i(p)\sum _{r=1}^{p-1}r{2k-1-i}\left(\frac{r}{p}\right)$$

我感觉如果这类一般性结论是已知成立的，证明起来应该不算难（思路上没障碍，就是计算可能有点繁琐），但我现在完全摸不着门道，不知道该怎么推导出来，总不能硬算吧？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sayan Dutta