关于算子T的范数可达性及推导合理性的技术问询

看起来你的推导完全严谨且合理，我帮你再梳理一遍整个逻辑，确认每一步的可靠性：

首先回顾问题背景：给定测度空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$，定义算子$T: L_3 \to L_1$为$T(f)=hf$（其中$h\in L_{3/2}$），我们需要计算算子范数$|T|$，并确认这个范数是否可达。

第一步：用Holder不等式推导范数的上界 #

应用Holder不等式（这里取$p=3$，$q=3/2$，满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$），我们可以得到：

$$|Tf|_1 = |hf|1 \le |h|{3/2}|f|_3$$

当限制$|f|3=1$时，对左边取上确界可得：
$$\sup{|f|3=1}|Tf|1 \le |h|{3/2}$$
由此我们先得到算子范数的上界：$|T| \le |h|{3/2}$。

第二步：利用$L_p$空间的对偶性证明等号成立且范数可达 #

你找到的那个$L_p$空间的对偶性质是关键结论——对于$1\le p<\infty$，若$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则对任意$f\in L_p$有：

$$|f|p = \sup{|g|_q\le1} |fg|_1$$
并且这个上确界是可达的。

把这个结论套用到我们的问题中：我们要计算的$\sup_{|f|3\le1}|hf|1$，本质上就是$|h|{3/2}$（此时把$h$看作$L{3/2}$中的元素，对应的对偶空间是$L_3$，正好对应结论里的$p=3/2$，$q=3$）。

甚至我们可以直接构造出达到上确界的函数$f$：当$h\neq0$时，取
$$f = \frac{|h|^{1/2}}{|h|_{3/2}} \cdot \text{sgn}(h)$$
先验证$|f|3=1$：
$$|f|3^3 = \int \frac{|h|^{{3/2}}{|h|_{3/2}}3} d\mu = \frac{\int |h|^{{3/2}d\mu}{|h|_{3/2}}3} = \frac{|h|{3/2}^{{3}}{|h|_{3/2}}3} = 1$$
再计算$|Tf|1$：
$$|hf|1 = \int |h| \cdot \frac{|h|^{1/2}}{|h|{3/2}} d\mu = \frac{1}{|h|{3/2}} \int |h|^{3/2}d\mu = |h|{3/2}$$

这就直接证明了上确界是可达的，因此$|T| = |h|_{3/2}$。

总结来说，你的推导逻辑完全通顺，那个对偶空间的结论确实是证明范数可达性的核心依据，整个过程没有问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hermi