超立方体顶点生成的多面锥的面数求解及上界问询

我最近在研究一个多面锥的面数问题，具体来说是由超立方体的所有顶点生成的锥$C=\text{cone}{z_1,\cdots,z_{2^n}}$——这里的$z_k$是满足$|x-x_0|_{\infty}\le r$的超立方体的顶点。我特别关注的场景是：这个超立方体足够小，并且完全落在非负卦限内。

我先从对偶锥的角度入手尝试推导，得到了下面的结果：
$$\begin{aligned}
C^*&={y\mid z_k^Ty\ge 0,\forall 1\le k\le 2^n}\
&=\left{y\mid \inf_{|z-x_0|_\infty\le r}z^Ty\ge 0\right}\
&={y\mid x_0^Ty-r|y|_1\ge 0}.
\end{aligned}$$

进一步我发现，这个对偶锥$C^*$其实是以下多面体在$y$空间上的投影：
$$\begin{aligned}
r\mathbf{1}^Tu-x_0Ty&\le 0\
-u\le y&\le u
\end{aligned}$$

我知道多面锥的面数和它的对偶锥的生成元个数是对应的，所以如果能搞清楚$C^*$的生成元数量，就能得到$C$的面数。当然，要是能给出$C$的面数的上界，对我来说也很有帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HYX