验证8字形曲线的x轴反射是否为双射同胚但非微分同胚的映射

你的想法完全正确！x轴反射映射$R:A\rightarrow A, R(x,y)=(x,-y)$确实是一个从8字形曲线$A$到自身的双射同胚，但它不是微分同胚。下面我们一步步拆解验证过程：

一、先证明$R$是双射同胚 #

1. 双射性 #

反射映射是自身的逆映射——$R\circ R = \text{id}_A$（对任意$(x,y)\in A$，$R(R(x,y))=(x,y)$）。这意味着每个点都有唯一的原像（就是它自己经过反射后的点），显然满足双射的定义。

2. 连续性与逆映射连续性 #

$R$是欧氏空间$\mathbb{R}^{2$上的线性反射映射在子空间$A$上的限制，而线性映射在$\mathbb{R}}2$上天然连续。由于$A$是$\mathbb{R}^2$的子空间，子空间上的连续映射只要原映射连续就成立。同时$R$的逆映射就是它自己，自然也连续。

综上，$R$是$A$到自身的同胚映射，同时又是双射，所以是双射同胚。

二、再证明$R$不是微分同胚 #

核心矛盾出在8字形的**交叉点（原点$(0,0)$）**上，我们从微分同胚的核心要求切入：

若两个光滑流形之间的映射是微分同胚，那么它在每一点的切映射（微分）必须是线性同构，且映射本身在光滑结构下双向光滑。

首先明确8字形$A=G(\mathbb{R})$的局部结构：

• 除原点外，$A$上的所有点都是正则点，局部就是一段光滑曲线，$R$在这些点的微分就是x轴反射，是线性同构，没有问题。
• 原点是$A$的自交点，对应$\mathbb{R}$中两个不同的极限方向：当$x\rightarrow+\infty$时，$G(x)$趋近原点的切方向，和$x\rightarrow-\infty$时$G(x)$趋近原点的切方向是完全相反的（一个向上，一个向下）。

现在看$R$对这两个切方向的作用：它把向上的切方向映射为向下，向下的映射为向上。但问题在于，8字形无法被赋予全局的光滑流形结构——原点的自交点破坏了“局部与$\mathbb{R}$光滑同胚”的要求：任何包含原点的邻域都会包含$A$的两个分支，而$R$交换了这两个分支，无法找到一个光滑的局部坐标系，让$R$在这个坐标系下成为光滑映射。

换个更直观的角度：假设$R$是微分同胚，那么$G^{-1}\circ R\circ G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$应该是$\mathbb{R}$上的微分同胚。但这个复合映射会把$\mathbb{R}$的$+\infty$极限点映射到$-\infty$，$-\infty$极限点映射到$+\infty$，在对应原点的位置，这个复合映射无法做到光滑延拓（$\mathbb{R}$上的微分同胚要么严格递增要么严格递减，且不会出现这种“极限互换”的不光滑跳变），这就直接说明$R$不可能是微分同胚。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者notimportant