关于$ extit{BV}([a,b]) imes extit{BV}([a,b])$上Lebesgue-Stieltjes积分函数的Hadamard可微性问询

先交代一下基础定义：
设$X$和$Y$为Banach空间，函数的Hadamard可微性定义如下：

定义：函数$f:X\rightarrow Y$在点$x\in X$处沿子集$U\subseteq X$切向Hadamard可微，当且仅当$x\in U$，且存在连续线性函数$f'x:U\rightarrow Y$，使得对所有$u\in U$，以及任意收敛到$u$的序列$(u_n){n\in\mathbb N}\subseteq X$、任意收敛到$0$的序列$(\delta_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathbb R$，都有
$$\left\Vert\frac{f(x + \delta_nu_n)-f(x)}{\delta_n} - f'_x(u)\right\Vert_Y\rightarrow 0$$
当$n\rightarrow\infty$时成立。

我现在遇到的问题场景是这样的：
我取$X = \textit{BV}([a,b])\times\textit{BV}([a,b])$（其中$\textit{BV}([a,b])$表示区间$[a,b]$上所有实值有界变差函数的集合），$Y = \mathbb R$，定义函数$f$为Lebesgue-Stieltjes积分：
$$f(F,G) = \int_a^b F,\mathrm dG$$
这里要说明的是，紧集上的实值有界变差函数必然有界，且实值函数本身是可测的，所以这个$f$是良定义的。

我的核心疑问是：对每个$(F,G)\in X$，$f$是否是Hadamard可微的？或者退一步说，它是否能沿某个特定子集$U$切向Hadamard可微？

我之前了解到一个相关结论：如果把$X$限制为$\big(\textit{BV}([a,b])\cap\textit{D}([a,b])\big)\times\big(\textit{BV}([a,b])\cap\textit{D}([a,b])\big)$（其中$\textit{D}([a,b])$是$[a,b]$上的实值右连左极（cadlag）函数集合），那么$f$是Hadamard可微的，其导数为：
$$f_{(F,G)}'(A,B) = B(b)F(b) - B(a)F(a) - \int_a^b B_{-},\mathrm dF + \int_a^b A,\mathrm dG$$
这里的$B_{-}$是右连续函数$B$的左连续版本。<注：之前我发的版本里有个错误，把$B(a)F(a)$写成了$B(F(a))$（$b$处的项也犯了同样的错），评论里也有这个错误，希望没给大家造成困惑。>

但现在我要在更大的$\textit{BV}([a,b])\times\textit{BV}([a,b])$空间上考虑这个问题，我猜测之前的结论可能不再成立。所以真的很想知道：在这个更大的空间上，$f$还有Hadamard可微的可能性吗？我完全不知道该从哪里入手分析，真心希望能得到各位的指点。

另外补充一个细节：我实际要处理的$f$的输入函数是形如$\frac{L + R}2$的函数，其中$L$是左连续函数，$R$是右连续函数，而且二者的间断点完全一致——也就是说，如果$L$在某个点$t\in[a,b]$处间断，那么$R$也会在该点间断。这类函数有一定的连续性，且间断点至多可数，或许沿这类函数构成的子集切向，$f$是Hadamard可微的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Syd Amerikaner