如何构造存在独立同分布标准正态随机变量序列的概率空间？

嗨，这个问题问得非常到位！你已经掌握了有限个独立标准正态变量的构造，要推广到无限序列，核心就是借助乘积空间和测度论里的扩张定理来实现，我给你一步步拆解清楚：

• 先回顾你的已知基础：对于任意有限的n，我们可以用n维欧氏空间$(\mathbb{R}^{n,\mathfrak{B}}n,\mathbb{P}^{n)$作为概率空间，其中$\mathfrak{B}}n$是$\mathbb{R}^{n$上的Borelσ-代数，$\mathbb{P}}n$是n维标准正态乘积测度；坐标投影函数$X_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_i$就是独立的标准正态随机变量，这部分你已经很熟悉了。

• 构造无限乘积样本空间：我们取$\Omega = \mathbb{R}^\mathbb{N}$，也就是所有无穷实数序列$(\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots)$组成的集合，每个$\omega\in\Omega$都对应一个无穷长的实数串，代表所有随机变量的“取值结果”。

• 定义对应的σ-代数$\Sigma$：我们需要一个能描述“有限维事件”的σ-代数，具体来说，$\Sigma$是由所有有限维柱集生成的σ-代数。柱集的形式是：${\omega \in \mathbb{R}^\mathbb{N} | (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n) \in B}$，其中n是任意自然数，B是$\mathbb{R}^{n$上的Borel集合。这个σ-代数通常记为$\mathfrak{B}}\mathbb{N}$。

• 构造满足要求的概率测度$\mathbb{P}$：这里要用到Kolmogorov乘积测度定理（也叫Kolmogorov扩张定理）。因为我们有一族相容的有限维分布——每个有限维的分布都是对应个数的标准正态测度的乘积，而且这些有限维分布满足相容性（比如把n维分布投影到前m维($m<n$)，得到的就是m维的标准正态乘积分布），所以根据这个定理，我们可以唯一地把这些有限维分布扩张成定义在$(\mathbb{R}^{\mathbb{N},\mathfrak{B}}\mathbb{N})$上的一个概率测度$\mathbb{P}$，使得对于任意n和任意$B\in\mathfrak{B}^n$，都有$\mathbb{P}({\omega | (\omega_1,\cdots,\omega_n)\in B}) = \mathbb{P}^n(B)$。

• 定义随机变量序列并验证性质：对于每个自然数n，定义$X_n: \Omega\to \mathbb{R}$为投影映射，也就是$X_n(\omega)=\omega_n$。现在验证它们是i.i.d.标准正态：

  • 每个$X_n$的分布都是标准正态：$\mathbb{P}(X_n \in B) = \mathbb{P}({\omega | \omega_n \in B}) = \mathbb{P}_1(B)$，其中$\mathbb{P}_1$就是一维标准正态测度，符合要求。
  • 独立性：对于任意k个不同的指标$i_1,i_2,\cdots,i_k$，以及任意$B_1,B_2,\cdots,B_k\in\mathfrak{B}$，有$\mathbb{P}(X_{i_1}\in B_1, \dots, X_{i_k}\in B_k) = \mathbb{P}_1(B_1)\times\mathbb{P}_1(B_2)\times\cdots\times\mathbb{P}_1(B_k)$，这正好是各个边缘分布的乘积，满足独立的定义。

简单来说，就是把有限维的构造“无限延伸”，利用扩张定理保证无限维测度的存在性，再用投影映射得到我们需要的i.i.d.序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rfloc