通过变量变换求解随机变量X₁与X₂的联合分布问题

嘿，我来帮你一步步拆解这个问题——你已经找对了方向，接下来就是用**变量变换法（雅可比行列式）**来推导联合分布，这是解决这类问题的标准操作~

第一步：明确已知的联合分布 #

首先，$U_1$和$U_2$是$(0,1]$上的独立均匀分布，所以它们的联合概率密度函数（pdf）非常简单：
$$f_{U_1,U_2}(u_1,u_2) = \begin{cases}
1, & 0 < u_1 \leq 1,\ 0 < u_2 \leq 1 \
0, & \text{其他}
\end{cases}$$

第二步：写出逆变换关系 #

你已经观察到的两个等式，刚好可以用来把$U_1$、$U_2$表示成$X_1$、$X_2$的函数：

• 从$X_1^2 + X_2^2 = -2\log(U_1)$，可以解出：
  $$U_1 = e^{-(X_12 + X_2^2)/2}$$
• 从$\frac{X_2}{X_1} = \tan(2\pi U_2)$，可以解出（注意$2\pi U_2$的范围是$(0,2\pi]$，对应$\arctan$的结果要匹配正确象限）：
  $$U_2 = \frac{1}{2\pi}\arctan\left(\frac{X_2}{X_1}\right)$$

第三步：计算雅可比行列式（关键步骤） #

变量变换求联合pdf的核心是计算逆变换的雅可比行列式的绝对值，公式是：
$$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = f_{U_1,U_2}(u_1(x_1,x_2), u_2(x_1,x_2)) \times \left| \frac{\partial(u_1,u_2)}{\partial(x_1,x_2)} \right|$$

我们先计算各个偏导数：

1. 对$U_1$求偏导：
   • $\frac{\partial u_1}{\partial x_1} = -x_1 e^{-(x_12+x_2^2)/2}$
   • $\frac{\partial u_1}{\partial x_2} = -x_2 e^{-(x_12+x_2^2)/2}$
2. 对$U_2$求偏导：
   • $\frac{\partial u_2}{\partial x_1} = \frac{-x_2}{2\pi(x_1^2+x_22)}$
   • $\frac{\partial u_2}{\partial x_2} = \frac{x_1}{2\pi(x_1^2+x_22)}$

然后计算雅可比矩阵的行列式：
$$
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x_1} & \frac{\partial u_1}{\partial x_2} \
\frac{\partial u_2}{\partial x_1} & \frac{\partial u_2}{\partial x_2}
\end{vmatrix} = -\frac{e^{-(x_12+x_2^2)/2}}{2\pi}
$$
取绝对值后：$\left| J \right| = \frac{e^{-(x_12+x_2^2)/2}}{2\pi}$

第四步：代入得到联合pdf #

因为$f_{U_1,U_2}(u_1,u_2)=1$，所以代入变换公式：
$$f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = 1 \times \frac{e^{-(x_12+x_2^2)/2}}{2\pi}$$

最后：解读结果 #

这个pdf刚好是二维标准正态分布的联合概率密度函数，而且可以拆成两个一维标准正态pdf的乘积：
$$\frac{1}{2\pi}e^{-(x_12+x_2^2)/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_12/2} \times \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_22/2}$$
这说明$X_1$和$X_2$是独立的标准正态随机变量——其实这就是大名鼎鼎的Box-Muller变换，用来从均匀分布生成正态分布的经典方法！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sucksatmath