巴拿赫开映射定理完备性条件必要性反例中，如何证明逆映射无界？

你的思路完全没问题，选这个恒等映射作为反例是非常经典的做法——核心就是要找到一列连续函数，它们的$L_1$范数有界，但$L_\infty$范数可以无限大，这样就能直接说明$T^{-1}$（也就是把$L_1$范数下的函数映射回$L_\infty$范数下的同一个函数）是无界的。

具体构造函数列 #

对每个正整数$n$，定义连续函数$f_n(x)$：
$$
f_n(x) =
\begin{cases}
n(1 - nx), & x \in [0, \frac{1}{n}] \
0, & x \in (\frac{1}{n}, 1]
\end{cases}
$$
这个函数是连续的：在分段点$x=\frac{1}{n}$处，左右两边的取值都是0，满足连续的定义。

计算范数验证 #

1. $L_1$范数有界：
   积分仅需计算$[0, \frac{1}{n}]$区间的部分：
   $$
   |f_n|_1 = \int_0^1 |f_n(x)|dx = \int_0^{1/n} n(1 - nx)dx
   $$
   展开计算：
   $$
   \int_0^{1/n} n(1 - nx)dx = n\left[ x - \frac{n}{2}x^2 \right]_0^{1/n} = n\left( \frac{1}{n} - \frac{n}{2}\cdot\frac{1}{n^2} \right) = \frac{1}{2}
   $$
   可见所有$f_n$的$L_1$范数都是$\frac{1}{2}$，始终有界。

2. $L_\infty$范数趋向无穷：
   $f_n(x)$在$x=0$处取到最大值$n$，因此$|f_n|_\infty = n$。当$n$趋向无穷大时，这个范数也会无限增大。

证明$T^{-1}$无界 #

假设$T^{-1}$是有界的，那么存在常数$M>0$，使得对所有$f\in C[0,1]$都满足：
$$
|T^{-1}f|_\infty \leq M|f|1
$$
也就是$|f|\infty \leq M|f|_1$。

但代入我们构造的$f_n$，会得到：
$$
n \leq M \cdot \frac{1}{2}
$$
这显然不可能对任意大的$n$成立——只要$n > \frac{M}{2}$，不等式就会失效。这就说明不存在这样的常数$M$，因此$T^{-1}$是无界的。

补充一句：你之前选的$f(x)=x$确实无法达到目的，因为它的$L_\infty$和$L_1$范数比例是有限的；我们需要的是范数比例能无限放大的函数列，才能打破“有界”的限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hermi