分块结构Hermitian矩阵族两两可交换的充要条件问询

大家好，我最近碰到一个关于Hermitian矩阵族可交换性的问题，感觉挺有挑战性的，想和各位一起探讨下：

首先先看一个2维的具体情形，考虑下面两个矩阵：

$$
\begin{eqnarray}
L_1=\left[
\begin{array}{c|c}
0 & e_1^T \
\hline
e_1 & A_1
\end{array}
\right],
~~
L_2=\left[
\begin{array}{c|c}
0 & e_2^T \
\hline
e_2 & A_2
\end{array}
\right].
\end{eqnarray}
$$

这里$e_1=[1,0]^{T$，$e_2=[0,1]}T$；$A_1$和$A_2$是任意选取的2×2 Hermitian矩阵。我的问题是：$A_1$和$A_2$需要满足什么充要条件，才能让$L_1$和$L_2$可交换？

接下来可以把这个问题推广到一般的n维场景：

考虑n个形如下面的矩阵：

$$
\begin{eqnarray}
L_k=\left[
\begin{array}{c|c}
0 & e_k^T \
\hline
e_k & A_k
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
$$

其中$k=1,2,\cdots,n$，$e_k$是n维标准单位向量（第k个分量为1，其余为0）；每个$A_k$都是可以自由选取的n×n Hermitian矩阵。对应的问题是：这一族$A_k$需要满足什么充要条件，才能让所有的$L_k$两两可交换？

我觉得这个问题的难度不小，非常欢迎各位大佬给出评论、思路或者解答，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者D. J. Z.