高重根情形下牛顿法线性收敛性的严谨证明问询

大家好，我现在需要一个严谨但篇幅适中的证明，来解决下面这个关于牛顿法收敛性的问题：

设 $f\in \mathcal{C}^{m}([a,b])$，且存在 $\alpha \in (a,b)$ 满足
$$
0 = f(\alpha) = f'(\alpha) = f''(\alpha) = \dots = f^{(m-1)}(\alpha), \quad f^{(m)}(\alpha) \neq 0.
$$
要证明牛顿迭代公式 x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} 在 $\alpha$ 附近线性收敛，收敛速率为 $1-\frac{1}{m}$。

常规证明思路 #

我见过的常规证明方法是这样的：

• 先将 $f(x)$ 分解为 $f(x) = (x-\alpha)^m g(x)$，其中 $g(\alpha) \neq 0$；
• 把这个表达式代入迭代函数 $\Phi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$；
• 证明 $\lim_{x\to\alpha} \Phi'(x) = 1 - \frac{1}{m}$；
• 最后套用不动点迭代的标准结论（要求迭代函数 $\Phi$ 属于 $\mathcal{C}^1$）完成证明。

发现的证明漏洞 #

不过仔细推敲下来，我觉得这个证明存在两个需要填补的漏洞：

1. 计算 $\Phi'(x)$ 时需要用到 $g(x)$ 的一阶和二阶导数，这就默认了 $g(x)$ 在 $x=\alpha$ 处可导，但原问题的条件里并没有给出这个保证；
2. 我们还需要严格证明 $\Phi'(\alpha)$ 确实存在，并且等于上述极限——毕竟没有任何前提能直接保证 $\Phi(x)$ 是 $\mathcal{C}^1$ 函数。

我暂时想不到快速填补这些漏洞的方法，有没有大佬知道怎么避开这两个问题？如果能给出一个简短自然的证明就更好了，因为我打算在给工科专业学生的课程里讲这个内容。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Federico Poloni