关于矩阵乘积$(I-A_1)(I-A_2)\cdots(I-A_n)$的求和展开形式问询

各位好，我最近在研究一系列矩阵$A_1,A_2,\cdots,A_n$的乘积：$(I-A_1)(I-A_2)\cdots(I-A_n)$，想知道能不能把它写成一个清晰的求和形式？

我试着手动展开前几项来找规律：
先把前两个因子展开后再乘第三个，会得到这样的结果：
$$(I-A_1)(I-A_2)(I-A_3)\cdots (I-A_n)=(I-A_1-A_2+A_1A_2)(I-A_3)\cdots (I-A_n)$$
继续展开下去就是：
$$(I-A_1-A_2+A_1A_2-A_3+A_1A_3+A_2A_3-A_1A_2A_3)(I-A_4)\cdots(I-A_n)$$
但我实在没摸透这里面的通用规律。我自己瞎猜了一个形式，大概是这样：
$$(I-A_1)(I-A_2)\cdots (I-A_n)=I-\sum_{k=1}^nA_k +\sum_{(i,j)\in \pi}(-1)^{n+1} A_iA_j+(-1)^{{n+1}\prod_{k=1}}nA_k$$
不过我很确定这个式子不对，肯定漏了不少项，而且这里我用$\pi$表示${1,\cdots,n}$的某种排列，但其实也没搞清楚这个求和的下标到底该怎么定义。

有没有大佬能帮我理清这个乘积的正确展开形式呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JayP