k名乘客在n层楼中恰好从j层离开的概率公式推导问询

我现在正在琢磨一个概率公式：k个进电梯的乘客，在n个可选楼层里，恰好从j个不同楼层离开的概率是多少？每个人的选择都是独立的，而且在任意楼层下电梯的概率都是$\frac{1}{n}$。

我已经搞清楚了两种极端情况，拿4个乘客、10个楼层的例子来说：

• 所有人都在同一层离开的概率：$(\frac{1}{10})^4 \cdot 10$
• 所有人都在不同楼层离开的概率：$\frac{10!}{10^4 \cdot 6!}$

但卡在了中间情况的计算上，比如4个乘客恰好从3个楼层离开（也就是有2个人在同一层，另外两人各选不同的楼层），我一开始试了这么算：
$$\frac{10}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{3}{10}$$
我的思路是：第一个人随便选10层里的一层，第二人选剩下9层，第三人选剩下8层，第四人必须选前面已经选过的3层中的某一层。但这个结果明显比真实概率要小，肯定哪里错了。

我看到有个类似的问题，但我不知道怎么计算$C_j^k$和$A_n{k-j+1}$这两个项，有没有大佬能指点下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user2653422