求证或反驳集合H在加法运算下构成群的技术问询

看起来你的思路完全没问题呀，我来帮你把每个环节理得更清晰一点，确认集合 $H = {\frac{a}{2^n}:a \in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}}$ 确实是加法群：

1. 闭包验证（你已经做对了，再细化下逻辑） #

设 $x = \frac{a}{2^n}$，$y = \frac{b}{2^m}$，其中 $a,b \in \mathbb{Z}$，$m,n \in \mathbb{N}$。计算和：
$$x + y = \frac{a}{2^n} + \frac{b}{2^m} = \frac{a \cdot 2^m + b \cdot 2^n}{2{m+n}}$$
分子 $a \cdot 2^m + b \cdot 2^n$ 是两个整数的和，结果仍然是整数；分母是 $2^{m+n}$，属于 $2^k$（$k=m+n \in \mathbb{N}$）的形式。所以这个结果完全符合H中元素的定义，闭包成立。

2. 逆元验证（你的结论正确，补充下细节） #

对于任意 $x = \frac{a}{2^n} \in H$，它的加法逆元是 $-x = \frac{-a}{2^n}$。因为 $-a$ 仍然是整数（整数集对取负封闭），分母还是 $2^n$，所以 $-x$ 显然属于H，逆元存在。

3. 你跳过的结合律和单位元，这里快速确认下 #

• 结合律：加法运算在有理数集 $\mathbb{Q}$ 中是天然结合的，而H是 $\mathbb{Q}$ 的子集，所以H中的加法必然满足结合律。
• 单位元：整数0可以写成 $\frac{0}{2^n}$（任意$n\in\mathbb{N}$），显然属于H，并且对任意 $x \in H$，都有 $0 + x = x + 0 = x$，单位元存在。

综上，H满足群的所有四个条件，确实是加法群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Doublenine_