关于图论中围长与顶点数、边数关系的系列问题咨询

我最近在研读West的《Introduction to Graph Theory》教材，对第78页的习题2.1.63特别感兴趣，题目内容如下：

2.1.63. Prove that every $n$-vertex graph with $n+1$ edges has girth at most $\lfloor(2 n+2) / 3\rfloor$. For each $n$, construct an example achieving this bound.

基于这个习题，我有几个延伸的疑问想向大家请教：

• 考虑一个拥有$n$个顶点、$n+k$条边的图（其中$k\leq n$），这类图是否也存在类似的围长上界结论？
• 更一般地，对于任意包含$m$条边（$m\ge 1$）的$n$顶点图，有没有更普适的围长相关结果？
• 另外，如果$m$的规模不算太大，比如$m= n+\mathcal{O}(1)$或者$m =\mathcal{O}(n)$，这类情况下是否存在和习题2.1.63类似形式的围长上界结论？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者licheng