关于《分布论导论》中微分算子分布正则性习题的非拟微分算子方法求解疑问
习题内容
这是Friedlander和Joshi所著《分布论导论》里的一道习题：
(I)
设 $I \subset \mathbb{R}$ 是开区间，证明：若分布 $u \in \mathcal{D}'(I)$ 且其导数 $\partial u \in C^{\infty}(I)$，则 $u \in C^{\infty}(I)$。
(II)
进一步，设 $P$ 是 $m$ 阶带光滑系数的微分算子，形式如下：
$$P(x,\partial)=\sum_{0\le k\le m} a_k(x)\partial^k,\quad a_k \in C^\infty(I)$$
其中首项系数 $a_m(x)$ 在 $I$ 上处处不为零。证明：若 $u \in \mathcal{D}'(I)$ 且 $P u \in C^{\infty}(I)$，则 $u \in C^{\infty}(I)$。
作者给出的提示
假设对每个 $x_0 \in I$，都存在 $\phi \in C^\infty(I)$ 满足 $P\phi =0$ 且 $\phi(x_0)=1$，然后使用归纳法。这样的 $\phi$ 的存在性可以从常微分方程理论推出。
我的思路与困惑
我知道这个结论其实可以直接借助椭圆拟微分算子的椭圆正则性来得到，但我希望不依赖拟微分算子的理论，用更基础的方法解决这道题。
第一题的解法（已完成）
第一题我已经想明白了，过程很清晰：
令 $v=\partial u$，它是光滑函数，那我们可以找到 $v$ 的一个光滑原函数 $w \in C^\infty(I)$，也就是 $\partial w=v$。这时候 $w$ 和 $u$ 在子空间：
$$\partial C_c^\infty(I) :={ \psi \in C_c^\infty(I)|\exists \phi \in C_c^\infty(I),\psi=\partial \phi}$$
上的作用是一致的，而这个子空间也等价于积分算子的核：
$$\partial C_c^\infty(I)={ \psi|\int_I \psi =0}.$$
我取了一个满足 $\langle 1,\rho \rangle = \int_I \rho =1$ 的函数 $\rho \in C_c^\infty(I)$，对任意 $\phi \in C_c^\infty(I)$，都能把它分解成：
$$\phi = \phi - \langle 1,\phi \rangle\rho + \langle 1,\phi \rangle\rho.$$
这里的 $\phi-\langle 1,\phi \rangle \rho$ 属于 $\partial C_c^\infty(I)$。所以：
$$\langle u,\phi \rangle = \langle u,\phi-\langle 1,\phi \rangle \rho \rangle + \langle 1,\phi \rangle \langle u,\rho \rangle = \langle w,\phi-\langle 1,\phi \rangle\rho\rangle+\langle c,\phi \rangle=\langle w+C,\phi \rangle,$$
其中 $C=\langle u,\rho \rangle$ 是常数，这样就得出 $u=w+C$，显然属于 $C^\infty(I)$。
第二题的困惑
到了第二题，我先假设首项系数为1，从最简单的情况 $P=\partial + a_0(x)$ 尝试入手，但一直没什么进展。感觉第一题的思路应该能类似用到第二题上，但我找不到 $PTC_c\infty(I)$ 的简单刻画——这可是第一题解法里的关键啊。另外，我也没搞懂作者给的提示到底怎么用，尤其是归纳法应该从哪里开始、怎么推进。
麻烦各位大佬指点一下！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chengyu Zhang
