具有整除性质的两个函数之间的关系探究

咱们先把问题里的两个函数定义明确下来，再一步步拆解它们的关联：

给定正整数$q$和自然数集的有限子集$A\subseteq \mathbb{N}$，定义两个计数函数：
$$
f(q)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{\substack{n,m\in A \ n-m=qk}}1 \quad \mbox{and}\quad g(q)=\sum_{\substack{n,m\in A \ q|n-m}}1.
$$

核心关系：$f(q)$是$g(q)$的一部分 #

你观察到的$f(q)\le g(q)$完全正确！咱们来拆清楚两者的统计范围：

• $g(q)$统计的是所有满足$q$能整除$n-m$的$(n,m)$对，这里面包含三种情况：$n=m$（$q$整除0）、$n>m$且$n-m$是$q$的正倍数、$m>n$且$m-n$是$q$的正倍数；
• 而$f(q)$只统计其中**$n>m$且$n-m$是$q$正倍数**的那部分对，相当于$g(q)$的一个子集，所以必然有$f(q)\le g(q)$。

更明确的拆分公式 #

我们可以把$g(q)$拆成三部分：
$$g(q) = |A| + f(q) + f'(q)$$
其中：

• $|A|$是$n=m$的对的数量（每个元素和自己配对，共$|A|$个）；
• $f'(q)$是$m>n$且$m-n$是$q$正倍数的对的数量，也就是$\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{\substack{n,m\in A \ m-n=qk}}1$。

如果你的集合$A$是对称结构（比如连续整数区间${1,2,...,k}$，就像你举的例子），那么$f(q)=f'(q)$——因为每一对$(n,m)$满足$n-m=qk$，就对应唯一的$(m,n)$满足$m-n=qk$，数量完全相等。这时候公式可以简化为：
$$g(q) = |A| + 2f(q)$$

拿你给出的例子验证一下：$A={1,2,...,9}$，$q=1$，$|A|=9$，$f(1)=36$，代入得$9+236=81$，正好等于$g(1)=9^2=81$，完全吻合！这时候$f(q)=\frac{g(q)-|A|}{2}$，对应的比例$c=\frac{4}{9}$，就是$\frac{81-9}{281}=\frac{72}{162}=\frac{4}{9}$，和你计算的一致。

关于固定比例$c$的可能性 #

遗憾的是，一般情况下不存在固定的常数$c$使得$f(q)=c g(q)$，这个比例会完全依赖于集合$A$的结构和$q$的取值：

• 比如$A={5}$（单元素集），$f(q)=0$，$g(q)=1$，此时$c=0$；
• 比如$A={1,3}$，$q=2$，$f(2)=1$（只有$(3,1)$这一对），$g(2)=4$（所有$(n,m)$对都满足2整除$n-m$），此时$c=\frac{1}{4}$；
• 再比如$A={1,2,4}$，$q=3$，$f(3)=1$（只有$(4,1)$），$g(3)=5$（满足3整除$n-m$的对是$(1,1),(2,2),(4,4),(4,1),(1,4)$），此时$c=\frac{1}{5}$。

不过我们可以给出$c$的上下界：
$$0\le c\le 1-\frac{|A|}{g(q)}$$
这个下界是单元素集的极端情况，上界是当$f'(q)=0$时的情况（比如$A$是所有元素都小于某个值，不存在$m>n$且$m-n$是$q$正倍数的对）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Itachi