关于Laurent平方和笔记中零维理想相关引理证明的疑问及定理修正探讨
我最近在读Laurent的《Sums of squares, moment matrices and optimization over polynomials》笔记，因为本身代数几何的经验不算多，碰到了一些问题，其中一个关于第15页的定理2.6：
定理
(i) 理想 $I\subseteq\mathbb{R}[\mathbf{x}]$ 是零维的（即 $|V_{\mathbb{C}}(I)|<+\infty$）当且仅当向量空间 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]/I$ 是有限维的。
(ii)（假设 $V_{\mathbb{C}}(I)$ 有限）
$|V_{\mathbb{C}}(I)|\leq \dim(\mathbb{R}[\mathbf{x}]/I)$，当且仅当理想 $I$ 是根理想时等号成立。
预备背景知识
在提出核心问题前，先铺垫一些基础定义：
对于 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]$ 中的理想 $I$（$\mathbf{x}$ 表示多维变量），定义复簇与实簇：
$$V_{\mathbb{C}}(I)={ v\in\mathbb{C}^n: \ f(v)=0, \ \forall f\in I }$$
$$V_{\mathbb{R}}(I)=V_{\mathbb{C}}(I)\cap\mathbb{R}$$
- 根理想 $\sqrt{I}$ 的定义：
$$\sqrt{I}={ f\in\mathbb{R}[\mathbf{x}]: \ f^k\in I, \ \text{for some } k\in\mathbb{N} }$$ - 实根理想 $\sqrt[\mathbb{R}]{I}$ 的定义：
$$\sqrt[\mathbb{R}]{I}={ f\in\mathbb{R}[\mathbf{x}]: f{2k}+\sum_{j=1}{m}p_j^2\in I, \ \text{for some } k,m\in\mathbb{N} \ \text{and } p_j\in\mathbb{R}[\mathbf{x}], \ \forall j=1,\dots,m }$$
此外，集合 $V\subseteq\mathbb{C}^n$ 的消失理想 $\mathcal{I}(V)$ 定义为：
$$\mathcal{I}(V)={ f\in\mathbb{R}[\mathbf{x}]: \ f(v)=0, \ \forall v\in V }$$
根据Hilbert零点定理和实零点定理，分别有：
$\mathcal{I}(V_{\mathbb{C}}(I))=\sqrt{I}$，$\mathcal{I}(V_{\mathbb{R}}(I))=\sqrt[\mathbb{R}]{I}$。
相关引理及我的疑问
证明上述定理需要用到引理2.5，首先得定义有限子集 $V\subseteq\mathbb{C}^n$ 的拉格朗日插值多项式 ${p_v}{v\in V}\subseteq\mathbb{C}[\mathbf{x}]$，满足：
$$p_v(u)=\delta{v,u}, \ \forall v,u\in V, \ \ \text{and } \ p_{\bar{v}}(x)=\bar{p}_v(x), \ \forall x\in\mathbb{R}^n.$$
引理 设 $I$ 是 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]$ 中的零维理想，将 $V_{\mathbb{C}}(I)$ 划分为 $V_{\mathbb{C}}(I)=S\cup V_{+}\cup\bar{V}{+}$，其中 $S=V{\mathbb{R}}(I)$，$V_+={v\in V_{\mathbb{C}}(I): \ \Im(v)>0}$。如果 ${p_v}{v\in V{\mathbb{C}}(I)}$ 是上述定义的插值多项式，那么集合 $\mathcal{L}={p_v}{v\in S}\cup{\Re(p_v),\Im(p_v)}{v\in V_+}$ 在 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]/I$ 中线性无关，且生成 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]/\mathcal{I}(V_{\mathbb{C}}(I))$。
我的疑问就出在这个引理的线性无关性证明上：
M. Laurent取了一组标量 ${\lambda_v}{v\in S}$、${\lambda'v}{v\in V+}$ 和 ${\lambda''v}{v\in V_+}$，使得：
$$\sum_{v\in S}\lambda_v p_v+\sum_{v\in V_+}(\lambda'_v\Re(p_v)+\lambda''_v\Im(p_v))\in I.$$
接着她指出“在 $V_{\mathbb{C}}(I)$ 中的点 $v$ 处计算这个多项式，可得所有标量都是0”。我认同 $\lambda_v$ 和 $\lambda'_v$ 会被推出为0，但 $\lambda''v$ 为什么也必须是0呢？毕竟对于任意 $u\in V{\mathbb{C}}(I)$，$\Im(p_v(u))$ 不是都等于0吗？这样求值的时候根本不会涉及到 $\lambda''_v$ 啊。
关于引理与定理的修正猜想
如果这里确实存在疏漏，那我觉得引理的表述可能需要调整：$\mathcal{L}={p_v}{v\in V{\mathbb{R}}(I)}$ 在 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]/I$ 中线性无关，且生成 $\mathbb{R}[\mathbf{x}]/\sqrt[\mathbb{R}]{I}$（这里用到了实零点定理）。
这种修正自然也会影响定理的第二部分，我猜测正确的表述应该是：$|V_{\mathbb{R}}(I)|\leq\dim(\mathbb{R}[\mathbf{x}]/I)$，当且仅当理想 $I$ 是实根理想时等号成立。定理(ii)的完整证明我暂时没放上来，如果有人觉得有必要的话我可以补充。
因为我对代数几何还不是特别熟悉，要是我漏了什么明显的关键点还请见谅。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_cpt
