关于$\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{n^{2}}\right)^{2}$相关恒等式的证明求助

我最近在推导一个涉及平方和级数的恒等式时卡壳了，想请各位帮忙看看怎么继续往下推进。

首先，我要证明的是这个恒等式：
$$\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x{n^{2}}\right){2}=1+4\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{\left(-1\right)}{n}}{x^{-\left(2n+1\right)}-1}$$

我先把左边的级数展开转化，把它变成了需要证明的等价形式：
$$\left(1+2\sum_{n=1}^{\infty}x{n^{2}}\right){2}=1+4\sum_{n=0}^{{\infty}\left(-1\right)}{n}\frac{x^{2n+1}}{1-x{2n+1}}$$

接着我把左边的平方展开并化简，最终得到了需要验证的核心等式：
$$\left(\sum_{n=1}^{\infty}x{n^{2}}\right){2}+\sum_{n=1}^{\infty}x{n^{{2}}=\sum_{n=0}}{\infty}\left(-1\right)^{n}\frac{x{2n+1}}{1-x^{2n+1}}$$

之后我尝试改写右边的求和项，把它转化成了这两种形式：
$$\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{x}{n}}{1+x^{{2n}}=\sum_{n=1}}{\infty}\frac{1}{x^{n}+x{-n}}$$

这样问题就进一步转化为要证明：
$$\sum_{i=1}^{{\infty}\sum_{j=1}}{\infty}x^{j{2}+i^{{2}}+\sum_{n=1}}{\infty}x^{n{2}}=\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{1}{x}{n}+x^{-n}}$$

可到这一步我就不知道该怎么继续变形来验证两边相等了。

这个问题源自用户Sangchul Lee的一个回答，之前有人问过相同的问题但帖子似乎被删除了，没找到完整的证明过程，所以特意来这里求助大家。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Miracle Invoker