关于损失函数$E[(1-Yf(X))_+]$最小化器符号性质的证明困惑及相关疑问

我最近在尝试证明这么一个结论：
已知 $Y \in {-1,1}$，$p(x) = P(Y=1|X=x)$，定义正部函数 $z_+ = zI(z \ge 0)$（也就是只保留$z$的非负部分）。需要证明：损失函数 $E[(1-Yf(X))_+|X=x]$ 的最小化器 $\hat f$ 满足 $\text{sign}(\hat f) = \text{sign}(p(x) - 1/2)$。

为了写起来方便，我后面就把 $f(x)$ 简记为 $f$，$p(x)$ 简记为 $p$。

最开始我想着分四种情况来分析，先说说前两种的推导和遇到的问题：

我的尝试与困惑 #

• 第一种情况：$1-f \ge 0$ 且 $1+f \ge 0$（也就是 $|f| \le 1$）
  这时候我计算了期望：
  $$E[(1-Yf)_+] = (1-f)p + (1+f)(1-p) = 1+(1-2p)f$$
  当时我觉得：

  • 如果 $1-2p \le 0$（也就是 $p \ge 1/2$），那取 $f=1$ 就能最小化这个期望；
  • 如果 $1-2p \ge 0$（也就是 $p \le 1/2$），那取 $f=-1$ 就能最小化这个期望。
    但我心里没底——这里我好像把$f$当成了常数来处理，但实际上$f$应该是关于$x$的函数，这个前提好像站不住脚...

• 第二种情况：$1-f \ge 0$ 且 $1+f \le 0$（也就是 $f \le -1$）
  这时候算出来的期望是：
  $$E[(1-Yf)_+] = (1-f)p$$
  按照之前的思路，不管 $p-1/2$ 的符号是什么，取 $f=-1$ 都能最小化这个期望，这结果看起来特别奇怪，我到这儿就卡壳了。

另外，我也不太确定该怎么正确利用正部函数 $z_+$ 的定义来展开分析，总觉得自己可能漏了什么关键点。

后续补充的疑问 #

后来我想明白了一部分：当 $f \ge 1$ 时，如果 $y = \text{sign}(f)=1$，那么 $1-Yf = 1-f \le 0$，所以 $(1-Yf)_+ = 0$；如果 $y=-\text{sign}(f)=-1$，那么 $1-Yf = 1+f \ge 2$，对应的正部就是它本身。

现在大部分内容我都理解了，但还有个疑问没搞懂：为什么可以不失一般性地假设 $f \in [-1,1]$？如果 $|f|$ 趋向于无穷大的话，对应的情况应该怎么分析呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jason 1