给定长度n的模式下，求解最长非无限路径的下一步方案问询

首先先明确问题场景：想象一个整数网格，机器人从(0,0)出发，遵循一个会永久重复的转向模式——我们把左转记为1，右转记为-1，直行（不转向）记为0。每一步机器人先执行模式中的转向指令，再向前移动1单位；但如果移动后的坐标是它已经去过的位置，就会跳过这次移动，保持当前朝向不变，直接进入下一个步骤。

我们的目标是找到能让机器人走得最远然后终止的模式（避免进入无限循环），这里的“最远”指的是机器人移动的总距离，而非覆盖的区域面积。

长度1-3的最优模式比较容易推导，我就把推导过程留给感兴趣的人自行探索了。目前我已经找到了长度4-9的最长路径对应的模式：

• 长度4：[1, 1, -1, 0]
• 长度5：[1, -1, 0, -1, 0]
• 长度6：[0, 0, 1, -1, 0, -1]
• 长度7：[0, 0, 0, 1, -1, 0, -1]
• 长度8：[0, 0, 0, 0, 1, -1, 0, -1]
• 长度9：[0, 1, 1, 0, 0, 0, -1, 1, 0]

现在我的核心疑问是：对于任意给定的模式长度n，寻找最长非无限路径的下一步该怎么做？

我自己尝试过几种方向，但都遇到了瓶颈：

• 判断模式是否终止：我不确定是否存在通用的判定方法。比如模式[0, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 0, 1, 1, -1, -1]，我既不知道它会在3000步后终止，还是会无限循环，而且我对这类问题的理论基础了解不足，没法彻底搞清楚这个问题。
• 关联忙碌海狸问题：我尝试把这个问题和忙碌海狸联系起来，但完全搞不懂背后的数学原理，读了几篇相关论文也像看天书一样。
• 暴力枚举法：我试过暴力遍历所有可能的模式，但计算量实在太大——每个长度n的模式有3^n种，而且我还要验证每个模式到最长已知路径长度的1.5倍（相当于4.5^n量级的计算量）；同时为了确认模式是否终止，我会把模式运行到最长已知路径长度的5倍（最近处理长度9的模式时，我运行到了3000步），如果还没终止就默认它不会停。

另外我还发现一个有意思的点：长度5到8的模式有明显的延续性，但长度9的模式完全打破了这个规律，这也让我更难找到通用的推导方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者William C.