利用零点定理证明范德蒙德行列式相关主理想相等的可行性问询

当然可以！这其实是希尔伯特零点定理（Nullstellensatz）的一个非常经典的应用场景，下面我一步步给你拆解这个证明思路：

首先明确问题中的核心对象：
我们有范德蒙德矩阵：
$$V (x_1, ..., x_n) =\left [ \begin{matrix}
1 & x_1&x_1^2&...&x_1{n-1} \
1 & x_2&x_2^2&...&x_2{n-1} \
1 & x_3&x_3^2&...&x_3{n-1} \
\vdots & \vdots&\vdots&...&\vdots \
1 & x_n&x_n^2&...&x_n{n-1} \
\end{matrix} \right ]$$

设 $f = \det V(x_1,\dots,x_n)$，$g = \prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$。我们已知这两个多项式的零点集完全相同：
$$V={(z_1,\dots,z_n)\in\mathbb{C}^n | z_i=z_j\text{ for some }i\neq j}$$

接下来用零点定理推导主理想相等：

1. 应用零点定理的核心推论
   因为 $\mathbb{C}$ 是代数闭域，完全满足希尔伯特零点定理的适用条件。根据零点定理的强形式：对于多项式环 $\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ 中的任意理想 $I$，其根理想 $\sqrt{I}$ 恰好是所有在 $I$ 的零点集上取值为0的多项式集合。

由于 $Z(f) = Z(g) = V$（$Z(h)$ 表示多项式 $h$ 的零点集），因此它们生成的主理想的根理想必然相等：
$$\sqrt{(f)} = \sqrt{(g)}$$

2. 平方自由多项式的主理想等于其根理想
   接下来我们需要证明，$f$ 和 $g$ 都是平方自由多项式（即没有重不可约因子），因此它们的主理想本身就等于根理想：

• 对于 $g$，它是两两不同的线性因子 $(x_j-x_i)$ 的乘积，显然是平方自由的。
• 对于 $f$，假设存在某个不可约因子 $p$ 使得 $p^2 \mid f$，那么 $p$ 必然同时整除 $f$ 和它的偏导数 $f'$（这是多项式重因子的判定定理）。但取 $p=x_j-x_i$ 时，计算 $f$ 对 $x_j$ 的偏导数，会发现当 $x_j=x_i$ 时，这个导数并不为0（具体来说，此时导数对应的行列式是去掉原范德蒙德矩阵第 $j$ 行第1列的余子式组合，结果是非零的），因此 $x_j-x_i$ 不整除 $f'$，说明 $f$ 没有重因子，也是平方自由的。

对于平方自由多项式 $h$，如果 $k^m \in (h)$（即 $h \mid k^m$），由于 $h$ 的每个不可约因子只出现一次，在唯一分解整环（UFD）$\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ 中，这必然意味着 $h \mid k$，即 $k \in (h)$。因此：
$$\sqrt{(f)} = (f),\quad \sqrt{(g)} = (g)$$

3. 结论推导
   结合前面的结论，$\sqrt{(f)} = \sqrt{(g)}$ 就直接推出了：
   $$(f) = (g)$$
   也就是 $f$ 和 $g$ 在 $\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ 中生成同一个主理想。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者semisimpleton