特征值绝对值均小于1的实方阵的范数不等式正确性疑问

最近碰到一道入学考试的判断题，我怎么想都有点绕不过来，想请教下大家：

判断题：假设$A$是$n$阶实方阵，所有特征值的绝对值都小于1，那么对任意$\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^n$，都有$|\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}| \leq |\boldsymbol{v}|$。

题目给出的答案是错误，但我一开始完全想不通为什么。我的思路是：如果$\lambda$是$A$的特征值，对应的特征向量是$\boldsymbol{v}$，那$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v} = \lambda\boldsymbol{v}$，所以$|\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}| = |\lambda||\boldsymbol{v}|$，既然$|\lambda| < 1$，那$|\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}| < |\boldsymbol{v}|$，这不满足$\leq$吗？难道是因为题目里特征值是小于1而不是小于等于1？

后来才反应过来，我犯了一个典型的错误——只考虑了特征向量的情况，却忽略了绝大多数非特征向量的存在！

举个简单的反例就明白了：比如取二阶矩阵$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$，它的特征值都是0（绝对值明显小于1），但如果我们取向量$\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}$，计算一下$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \end{pmatrix}$，此时$|\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}| = 2$，而$|\boldsymbol{v}| = 1$，显然$2 > 1$，直接违反了题目里的不等式。

这里的核心问题是：矩阵的谱半径（所有特征值绝对值的最大值）和它的算子范数（也就是$\sup_{\boldsymbol{v}\neq 0} \frac{|\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{v}|}$，用来衡量矩阵对向量的“放大能力”）并不是一回事。谱半径是算子范数的下界，但算子范数可以远大于谱半径——就像上面的例子，谱半径是0，但算子范数是2。所以哪怕所有特征值绝对值都小于1，矩阵依然可能存在某个向量，把它放大到比原向量更长的程度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user_1729