关于特定黎曼可积函数集合上积分的上确界与下确界求解问询

各位好，我最近卡在了一个涉及伽马函数和黎曼可积函数集合的极值问题上，想请大家给点思路或者解答建议。问题的具体细节如下：

问题背景与定义 #

设$a,C,M$是给定的正实数，定义函数集合：
$$\mathcal{M}:=\left{f\in\mathrm{R}[0,a]:\int_0^a\Gamma(1+f(x))\mathrm{d}x=C,0\le f(x)\le M\right}.$$
这里$\mathrm{R}[0,a]$代表区间$[0,a]$上所有黎曼可积函数的集合，而$\Gamma(z)$是伽马函数，其定义为：
$$\Gamma(z)=\int_0^{+\infty}t{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t,\quad z>0.$$

待求解的极值 #

我需要找到以下两个积分的极值：
$$\sup_{f\in\mathcal{M}}\int_0^af2(x)\mathrm{d}x\quad\text{和}\quad\inf_{f\in\mathcal{M}}\int_0^af2(x)\mathrm{d}x.$$

真的很希望能得到各位的指点，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathLearner