如何在SymPy中获取Gauss-Legendre节点与权重的符号形式？

好问题！SciPy的special.roots_*系列函数确实是直接返回数值形式的求积根和权重，但在SymPy里要拿到符号形式的对应内容，得通过正交多项式+符号求解的方式来实现——毕竟求积法的根本质上就是对应正交多项式的零点，权重也能通过正交多项式的性质用符号推导出来。

所有经典的高斯型求积法（比如勒让德、拉盖尔、厄米特等），它们的求积节点就是对应正交多项式的根，而权重则可以通过正交多项式的导数、阶数等参数用符号公式计算出来。

高斯-勒让德求积是最常用的一种，对应区间[-1,1]，步骤如下：

1. 导入SymPy并定义符号变量

   import sympy as sp
   x = sp.symbols('x')
   

2. 生成对应阶数的正交多项式
   用sp.legendre(n, x)生成n阶勒让德多项式，比如n=3：

   n = 3
   Pn = sp.legendre(n, x)
   

3. 求解多项式的根（即求积节点）
   用sp.solve()解多项式方程，得到符号形式的根：

   roots = sp.solve(Pn, x)
   # 输出：[-sqrt(3/5), 0, sqrt(3/5)]
   

4. 计算符号权重
   高斯-勒让德的权重公式是：

   ( w_i = \frac{2}{(1 - x_i^2) \cdot (P_n'(x_i))^2} )
   其中( P_n' )是勒让德多项式的一阶导数，用SymPy计算：

   Pn_deriv = sp.diff(Pn, x)
   weights = [2 / ((1 - xi**2) * sp.expand(Pn_deriv.subs(x, xi))**2) for xi in roots]
   # 输出：[5/9, 8/9, 5/9]
   

   可以用sp.simplify()进一步简化结果，确保表达式更整洁。

不同的求积法对应不同的正交多项式和权重公式，这里给你几个常用的例子：

• 高斯-拉盖尔求积（区间[0, ∞)，权重函数( e^{-x} )）
  • 正交多项式：sp.laguerre(n, x)
  • 权重公式：( w_i = \frac{(n!)^2 \cdot e^{{x_i}}{(L_n'(x_i))}2} )（( L_n )是拉盖尔多项式）
• 高斯-厄米特求积（区间(-∞, ∞)，权重函数( e^{-x2} )）
  • 正交多项式：sp.hermite(n, x)
  • 权重公式：( w_i = \frac{2^{n+1} \cdot n! \cdot \sqrt{\pi}}{(H_n'(x_i))^2} )（( H_n )是厄米特多项式）

• 对于低阶（比如n≤5）的正交多项式，SymPy能直接给出根式形式的根；当阶数过高时，某些正交多项式的根无法用初等表达式表示，SymPy会用RootOf对象保留符号形式。
• 如果需要将符号结果转换为数值，只需要调用sp.N()函数即可，比如sp.N(roots[0])就能得到对应的浮点数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者homocomputeris