交换代数五引理部分结论的证明求助

我现在在啃交换代数里五引理的部分结论，给定下面由$R$-模和$R$-同态构成的交换图，其中两行都是正合序列：

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
M_1 @>{f_1}>> M_2 @>{f_2}>> M_3 @>{f_3}>> M_4 @>{f_4}>> M_5
\
@V{h_1}VV @V{h_2}VV @V{h_3}VV @V{h_4}VV @V{h_5}VV
\
N_1 @>{g_1}>> N_2 @>{g_2}>> N_3 @>{g_3}>> N_4 @>{g_4}>> N_5
\end{CD}$$

需要证明两个结论：

• (a) 若$h_1$是满射且$h_4$是单射，则$\ker(h_3)\subset f_2(\ker(h_2))$
• (b) 若$h_2$是满射且$h_5$是单射，则$g_3^{-1}(\operatorname{im}(h_4))=\operatorname{im}(h_3)$

我已经推了一部分，现在卡在(a)的最后一步，先说说我目前的推导：

对于(a)，取$x\in\ker(h_3)$，则$h_3(x)=0$。根据交换图的交换性，$h_4f_3(x)=g_3h_3(x)=0$，又因为$h_4$是单射，所以$f_3(x)=0$。结合上行的正合性，$\ker(f_3)=\operatorname{im}(f_2)$，所以存在$y\in M_2$使得$f_2(y)=x$。现在我需要证明这个$y$属于$\ker(h_2)$，也就是$h_2(y)=0$。

我试着用$h_1$是满射的条件往下推：首先还是用交换性，$g_2h_2(y)=h_3f_2(y)=h_3(x)=0$，所以$h_2(y)\in\ker(g_2)$。根据下行的正合性，$\ker(g_2)=\operatorname{im}(g_1)$，所以存在$z\in N_1$使得$h_2(y)=g_1(z)$。因为$h_1$是满射，所以存在$w\in M_1$满足$h_1(w)=z$。再用交换性的话，$h_2f_1(w)=g_1h_1(w)=g_1(z)=h_2(y)$，到这一步就卡壳了，不知道怎么继续往下证$h_2(y)=0$。另外(b)的部分还没开始，也希望能有思路提示~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nash