关于$P[A]E[x|x\in A]$对$P[A]$求导结果与分布无关的技术疑问

各位好，最近我在做一个涉及条件期望和导数的项目时，推导出了一个恒等式，但完全摸不透背后的原因，想请大家帮忙解读下。

先明确问题里的定义：

• 设随机变量$X$在单位区间$[0,1]$上取值，服从某个CDF为$F$、PDF为$f$的分布
• 令事件$A=[t,1]$，其中$t\geq0$

我计算了$P[A]$和$\mathbb E[X|X\in A]$的乘积对$P[A]$的导数，推导过程如下：
\begin{align}
\frac{d \left(P[A]\mathbb E[X|X\in A]\right) }{d P[A]}
=&\frac{d \left(\int^1_t zf(z)dz\right)}{d t}\cdot\frac{1}{d P[A]/dt}\
=&\frac{d \left(\int^1_t zf(z)dz\right)}{d t}\cdot\frac{1}{d (1-F(t))/dt}\
=&\frac{-tf(t)}{-f(t)}\
=&t.
\end{align}

最开始我以为结果会是一个和$F$、$f$相关的函数，但没想到最终结果居然完全独立于分布$F$，这实在让我意外。有没有大佬能给点直觉或者解释，为什么会出现这种情况？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andeanlll