三角函数定积分特定参数近似结果的解析证明及相关结论问询

我在处理一个物理问题时，遇到了以下三个定积分：

$$
\Phi_0(r) = 4\pi r \int_0^{\infty} \frac{\sin(t)}{t} \left( \frac{\sin(r t)}{t(\pi^2-r2 t^2)}\right)2 \mathrm{d} t
$$

$$
\Phi_1(r) = 4\pi r \int_0^{\infty} \cos(t) \left( \frac{\sin(r t)}{t(\pi^2-r2 t^2)}\right)2 \mathrm{d} t
$$

$$
\Phi_2(r) = 4\pi r \int_0^{\infty} t \sin(t) \left( \frac{\sin(r t)}{t(\pi^2-r2 t^2)}\right)2 \mathrm{d} t
$$

我尝试用初等函数求解这些积分，但一直没有成功。不过通过数值计算，我有十足的把握：当参数 $r \in (0, 0.5)$ 时，这些积分可以以至少 $10^{-10}$ 的精度简化为初等函数形式：

• $\Phi_0(r)\simeq 0.202642367284674 r^3$（精度可达 $\sim 10^{-14}$）
• $\Phi_1(r)\simeq\Phi_2(r)\simeq0$

而当 $r>0.5$ 时，这些积分的形式就复杂得多，我还没能找到对应的初等表达式。

我猜测这些积分可能是已经被研究过的已知积分，或者有没有大佬能给一些提示，告诉我该如何从解析角度证明上述的数值近似结果？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Misha